Kandidat nr. 8

Undersøkende matematikkundervisning som et virkemiddel for tilpasset opplæring

Jeg vil i dette blogginnlegget klargjøre noen faktorer som ifølge forskning, kan bidra til en god matematikkundervisning. Ut fra forskningen vil jeg presentere et undervisningsopplegg i tema problemløsning og brøkregning.

I følge Boaler er det et stort gap mellom det vi vet fungerer, og det som faktisk skjer i de fleste klasserom. I stedet for en undervisning der elevene er aktive i løsningen av matematiske problem, sitter de fleste elever passive og følger med på at læreren demonstrerer en metode som de hverken forstår eller bryr seg om. Elever som lærer i såkalte passive læringsmiljø, følger memorerte metoder i stedet for å lære å undre, stille spørsmål og løse problemer. Elevene får ikke noen mulighet til å tenke selv, og utvikler et passivt forhold til kunnskap og en instrumentell forståelse i faget. I en undersøkelse Boaler hadde, forteller elevene selv at matematikk ikke er et tenkefag, men et huskefag. (Boaler)

Denne tankegangen støttes også av Polya:

«A teacher of mathematics has a great opportunity. If he fills his allotted time with drilling his students in routine operations, he kills their interest, hampers their intellectual development, and misuses his opportunity. But if he challenges them with problems proportionate to their knowledge, and helps them to solve their problems, with stimulating questions, he may give them a taste for, and some means of, independent thinking” (Polya).

Nosrati og Wæge skriver i en artikkel på matematikksenteret sine nettsider, at:

«Elever må lære å tenke, resonnere og løse problemer på en selvstendig måte og med selvinnsikt. Forskning har vist at vi bør bevege oss vekk fra ideen om at matematikk hovedsakelig består av regler og algoritmer som må læres utenat. Fokuset bør snarere rettes mot de rike tankeprosessene som underligger matematisk aktivitet, og flere større europeiske forsknings- og utviklingsprosjekter som Norge har tatt del i har hatt som mål å fremme dette - blant annet gjennom undersøkende matematikkundervisning (inquiry based learning and teaching).» (Matematikksenteret)

Video 1: Undersøkende undervisning (inquriy based learning).

Normer er de usynlige reglene i klasserommet. Sosiomatematiske normer er de usynlige reglene i matematikkundervisning. De sier noe om hva som forventes av et svar, når er svaret nok begrunnet og hva som betegnes som et annet svar, osv. Disse normene legger føringen for hvordan lærer og elever arbeider i faget. Det er viktig å være bevisst på reaksjonene og føringene man legger i starten, for etter hvert går ting av seg selv. (Yackel & Cobb)

En undersøkende tilnærming til matematikk, er en fin måte å oppdage hvilken forståelse elevene har. Ved å undervise på denne måten vil også eventuelle misoppfatninger kommer frem i dagens lys. Men da må man vite forskjellen på om eleven kommer med et feilsvar eller om eleven innehar en misoppfatning. Alle elever gjør feil, selv de mest faglig sterke gjør tilfeldige feil innimellom. Her snakker vi om feil som følge av at de var ukonsentrert eller uoppmerksom og for eksempel ikke leste oppgaven godt nok. En misoppfatning er når elever gjør systematiske feil i den tro om at det er riktig. Disse feilene er ikke tilfeldige, men danner et mønster utfra en bestemt tanke eller idè eleven har. Slike misoppfatninger gir ofte ulogiske svar, men eleven har ikke nok forståelse til å bedømme svaret er realistisk eller ikke. Ofte kan misoppfatninger sees i sammenheng med instrumentell forståelse der kunnskapen er basert på å huske regler eller en algoritme. (Skemp)

For å kunne skille mellom feilsvar og misoppfatninger, må man vite hva elevene egentlig har forstått.

«Det er gjennom elevens språk læreren får øye på elevens kunnskaper. Elevens språk er ikke avgrenset til muntlighet, men også skrevne tekster, tegninger, tabeller, osv. En fin måte å finne ut hvordan eleven har tenkt, er ved å bruke elevintervju. Siden hovedhensikten er å finne ut hvordan eleven har tenkt, må man få eleven til å forklare. Alle svar er her interessante. Feilsvar med begrunnelse gir nyttig informasjon.» (Nilsen).

Dette er noe som må foregå kontinuerlig gjennom hele læringsprosessen. Og det trenger ikke å ta mye tid. Det kan være nok at læreren stiller spørsmålene:

Hva har du tenkt her?
Hvordan kom du frem til dette svaret?

Det er viktig å stille bevisste spørsmål. Spørsmålene vi stiller elevene, påvirker hvordan de tenker. Dette er det som regnes som de sosiomatematiske normene i klasserommet. Hvis vi konsekvent ber elevene om begrunnelse, fører det til at elevene begynner å tenke mer på begrunnelse. Eksempel på spørsmål som kan benyttes i undervisningen for å få elevene til å reflektere over egen forståelse og læring:

Hva gjør du nå?
Hvordan hjelper dette deg til et svar?
Er det matematisk korrekt?

Læreren trenger ikke ta på seg ansvaret for å forklare, og vurdere hva som er rett og galt hele tiden. Ved å stille slike spørsmål, vil elevene i større grad være i stand til å selv ta ansvar for å vurdere egne og medelevers matematiske tanker og begrunnelser. Læreren får en veilederrolle ved å stille spørsmål som fører til utdypning og videre refleksjon. For at læreren skal kunne gjøre dette på en hensiktsmessig måte, krever det at læreren har en bred kompetanse i faget og kan stille gode spørsmål som løfter elevenes tanker. Elevene blir nødt til å beskrive strategiene de bruker og hvorfor de fungerer, og utvikler dermed en dypere forståelse. Ved at læreren tar utgangspunkt i elevenes egne utsagn og lar det styre undervisningen, opplever elevene anerkjennelse i faget, noe som kan bidra til en positiv matematikkidentitet. (Kilpatrick, Swafford Findell)

Ved å endre kommunikasjonsmønsteret i klasserommet til undersøkende undervisning, får lærerne en større innsikt i elevenes forståelse, og kan tilpasse undervisningen etter det faktiske behovet i klassen. Med endringene som jeg har skissert, ligger kanskje utfordringen mest i det å kunne tilby nok åpne og problembaserte oppgaver til å kunne ha denne type diskusjoner, og som gir rom nok til refleksjoner, resonnementer, argumenter og begrunnelser av tankemønster og løsningsforslag. Et eksempel på noe man kan gjøre for å lette dette arbeidet, er å gjøre endringer i lærebøkene i matematikk. Føringene for undervisningen og hva elevene skal lære legges av læreplanverket kunnskapsløfte LK06. Men vi vet at lærerne opplever en tidspressa hverdag, og at det å følge lærebøkene nokså slavisk kan være en enkel løsning på å komme igjennom læreplanmålene. Hvis lærebøkene går over til å bruke mer åpne og problembaserte oppgaver, vil dette gi større rom for en mer undersøkende undervisning. Slike typer oppgaver gir også rom for differensieringer i form av tilpasset opplæring, noe som igjen vil gi de fleste elever økt læringsutbytte. Denne oppgaveformen gir også mange muligheter for fine klasseromsdiskusjoner da det alltid vil være flere måte å løse oppgaven på, og mange måter å tenke på for å finne en løsning. Snorre A. Ofstad sier at elever som sliter faglig, ofte har en strategifattigdom som gjerne er uhensiktsmessig eller tungvint. Når undervisningen åpner for flere løsninger får elevene ta del i et mangfold av metoder og strategier. Tanken er da at elevene kan velge en eller flere strategier. Det er derfor lærerens plikt å vise elevene flere strategier/løsningsmetoder. (Snorre A. Ofstad). Hvis man som lærer vektlegger hele prosessen og ikke bare løsningen, blir elevene bevisst egen tankeprosess og får en dypere forståelse for det de arbeider med. Ved å ha denne typen kommunikasjon i klasserommet vil også misoppfatninger kunne komme mer tydelig frem, og vil kunne bli tatt tak i med en gang. For å endre en misoppfatning kan man benytte seg av diagnostisk undervisning. «Diagnostisk undervisning tar fokus på å bruke oppgaver som er egnet for refleksjon rundt sentrale ideer knyttet til tallbegrepet og regneoperasjoner. Skjematisk kan en trekke fram følgende faser i diagnostisk undervisning:

Identifisere misoppfatninger og delvis utviklede begreper hos elevene.
Tilrettelegge undervisningen slik at eventuelle misoppfatninger eller delvise begreper blir framhevet. En kaller dette å skape en kognitiv konflikt.
Løse den kognitive konflikten gjennom diskusjoner og refleksjoner i undervisningen.
Bruke det utvidede (eller nye) begrepet i andre sammenhenger.

(Introduksjon til diagnostisk undervisning)

Jeg har tatt utgangspunkt i to kompetansemål i matematikk etter 7. årstrinn for tall og algebra.

Mål for opplæringen er at eleven skal kunne:

Finne fellesnevner og utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøk
Finne informasjon i tekst eller praktiske sammenhenger, stille opp og forklare beregninger og framgangsmåter, vurdere resultatet og presentere og diskutere løsninger

(Udir.no)

Undervisningsopplegget mitt er laget til en klasse på 6.trinn som jobber med brøkregning. Klassen får presentert et problem, og skal løse oppgaven i grupper. Elevene organiseres i grupper på 3-4. Oppgaven handler om at man skal dele rettferdig i mellom seg.

Det skal være kosekveld på skolen og elevene får ha med seg pizza. Det er 4 gutter i klassen og 6 jenter. Guttene har gått sammen og kjøpt en pizza. Jentene har gått sammen og kjøpt to pizza. Hvordan kan man dele pizzaene mest mulig rettferdig mellom jentene og guttene?

Elevene får ark som de kan jobbe på. Der skal de skrive eller tegne, og prøve å beskrive så godt de kan hva de tenker på arket. På slutten av timen skal gruppene presentere det de har funnet ut for resten av klassen.

Elevene må begrunne tankemåten sin og løsningene de kommer frem til. Alle på gruppa skal være enige om løsningen og forstå hvorfor det blir slik så godt at de også kan forklare løsningen. Derfor må eleven begrunne og forklare løsningen sin godt, helt til alle forstår, eller til de eventuelt får et motargument som fører til en kognitiv konflikt, og må revurdere sine påstander. Kanskje må de tilbake til start, og ender opp med en helt nye løsningsmetode og ny løsning på problemet. Når alle er enige, så skal løsningene til slutt presenteres i klassen. Læreren fungerer som en veileder som stiller spørsmål og oppmuntrer til refleksjon rundt de valgene elevene tar i fremgangsmåten sin.

Fordi lærer stiller spørsmål til elvene som oppfordrer dem til å begrunne og argumentere sine løsninger, kan undervisningen kalles for undersøkende. Lærer svarer ikke på om svarene er riktig eller gale. Elevene må selv vurdere svarene sine. Fordi elevene er delt inn i grupper så oppfordrer det til større elevaktivitet. Oppgaven elevene skal jobbe med er åpen og man kan bruke mange forskjellige fremgangsmåter for å komme frem til svaret. Elevene må selv finne en metode som gjør at de kommer frem til svaret. De blir oppfordret til å tegne og skrive ned tankene sine, og kan på denne måten komme frem til hvordan de kan regne seg frem til svaret ved å bruke brøkregning. Denne fremgangsmåten stimulerer elevene til å tenke over egne tankeprosesser og legger fine føringer for en sosiomatematisk norm i klassen som vektlegger forståelse fremfor riktige/gale svar.

Nosrati og Wæge mener vi må benytte inquiery based learning and teaching for at elever skal lære å tenke, resonnere og løse problemer på en selvstendig måte og med selvinnsikt. Dette er i tråd med det Boaler sier om at handlingene å resonnere, tenke fornuftig og engasjerer seg er helt nødvendig for å kunne bruke matematikken effektivt. Kilpatrick, Swafford Findell sier at denne måten å undervise på gir elevene en dypere forståelse, mer anerkjennelse og kan dermed føre til en positiv matematikkidentitet. Polya understreker også at med å undervise med problem som ligger i forhold til elevens kunnskapsnivå, og med læreren som veiledere, gir elevene utgangspunktet for å bli selvstendige tenkere.

Video 2: Foredeler ved undersøkende undervisning (inquiry based learning).

Det var viktig for meg at undervisningsopplegget mitt skulle bestå en åpen oppgave der man kan benytte seg av mange forskjellige fremgangsmåter for å finne løsningen. En annen faktor som var viktig for meg, var at oppgaven måtte gi rom for elevaktivitet i form av refleksjon rundt valg av metode og løsning. Dette legger et godt grunnlag for at læreren skal kunne fungere som veileder, og at elevene selv legger føringen for timen. Læreren må veilede elevene utfra de tankene elevene har, og læreren må hjelpe dem å se sammenhenger mellom de metodene og løsningene de kommer frem til, og ting de har lært før. Denne måten å gjennomføre undervisningen på kan også fremme elevenes utvikling av relasjonell forståelse i faget.

Litteraturliste:

Boaler, J. (2015). The Elephant in the classroom. Helping children learn & love maths. London, Souvenir press

Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press.

Polya, G (1971). How to solve it. Princeton University Press; 2^nd edition (1971).

Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding, Mathematics Teaching.

Ostad, Snorre A. (2013) Strategier, strategiobservasjon og strategiopplæring (med fokus på elever med matematikkvansker). Læreboka forlag.

Yackel, E and P. Cobb (1996) “Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics,” Journal for Research in Mathematics Education 27: 458-477.