Hvor blir det av de nysgjerrige elevene?

Å PLANLEGGE EN PROBLEMSLØSINGAKTIVITET

Ingenting er så givende, morsomt og engasjerende som problemløsing. Det å se elever lykkes og å ta del i gode matematiske samtaler i klasserommet. Det å oppleve gleden til elever som gjennom utforsking, prøving og feiling og heftige diskusjoner seg imellom endelig forstår og kan argumentere med stolthet for sine løsningsforslag. Og når du ser at elever henter fram erfaringer fra i fjor for å løse nye problemer. Hvilken annen undervisningsmetode er bedre enn dette? Det er utført mye forskning om problemløsing, og de fleste læreplaner framhever dette som en viktig metode for å oppnå god matematisk kompetanse.

Gjennom flere års erfaring som lærer i grunnskolen, og i de senere år som foreleser for lærere som tar etter-og videreutdanning i matematikkdidaktikk, har jeg erfart at dette kanskje ikke er så opplagt for lærere flest.

De aller fleste av lærerne jeg har møtt har hatt erfaringer med matematiske problem i en eller annen form. Men for mange er det gåter, grubliser og «ukens nøtt» som er det som går igjen når jeg samtaler med lærer om bruk av problemløsing i undervisningen. Fellestrekk for denne bruk av problemløsing er at det skal være noe morsomt og annerledes, og at løsningen til disse oppgavene ofte er av en overraskende karakter.  Et annet fellestrekk ved denne bruken er at valg av oppgaver synes tilfeldig, uten tanke på elevenes behov eller at oppgavene som er valgt står i sammenheng med den matematikken som undervises.

            «I løpet av mine mange år som lærer i grunnskolen, så har jeg presentert mine elever for mange problembaserte oppgaver. Dette erkjenner jeg nå at er gjort uten   tilstrekkelig kompetanse og egne refleksjoner rundt hva som har vært formålet med de ulike problembaserte oppgavene. De problembaserte oppgavene har på mange måter   fungert som et supplement til ordinær undervisning, og ikke som en vei fram mot en bredere matematisk forståelse.»

(uttalelse fra student på etter- og videreutdanningskurs)

Jeg vet at lærere som får dette til oppnår svært gode resultater. Hva er det da som gjør at lærere som kjenner til metoden ikke helt får det til og ikke får de resultatene de forventer?

Min erfaring er at manglende resultat i hovedsak handler om mangelfull planlegging, og i dette blogginnlegget skal jeg sette fokus på noe av det som er viktig å tenke på når du skal planlegge et problembasert undervisningsopplegg.

MATEMATISK PROBLEM OG PROBLEMLØSING

Mye forskning gir mange forskjellige definisjoner på begrepene problem og problemløsning. Begrepene blir brukt på ulike måter, og det er derfor vanskelig å gi en entydig tolkning av litteraturen på dette området. Det er likevel ikke vanskelig å finne likhetstrekk, og Van de Walle, Karp & Bay-Williams (2014) beskriver mange av disse felles trekkene. Van de Walle definerer et matematisk problem som enhver oppgave eller aktivitet der problemløseren ikke har en klar oppskrift eller løsningsmetode, men kan anvende tidligere innlært kunnskap til å løse problemet. Ifølge Van de Walle er et problem først et problem når elevene selv anser oppgaven som et problem. Det bør utover dette interessere og engasjere problemløseren, og problemløseren må ha et ønske om å løse problemet.

To områder er spesielt viktige for å få implementert læring gjennom problemløsning; oppgavevalg og organisering av klasseromdiskusjonen.

Selve oppgaven må ta utgangspunkt der elevene er, og det problematiske aspektet må stå i forhold til den matematikken problemløseren skal lære. Oppgaven må gi elevene mulighet til selv å tenke for å oppnå begrepsforståelse, gi mulighet for variasjon og utfordring, og kunne tilnærmes på flere måter. I en god problemløsingsoppgave vil verken løsningen eller prosessen fram mot et svar være opplagt, så derfor blir begrunnelser/argumentasjoner for løsninger og metoder sentralt.

TRE-FASE UNDERVISNING

En problembasert undervisningsøkt gjennomføres som regel i tre faser; før, under og etter.
Også her tar jeg utgangspunkt i Van de Walle (2014), og gir en kort beskrivelse av det viktigste i hendelsesforløpet og lærerens handlinger i fasene;

I førfasen er det viktig å aktivere elevenes tidligere kunnskap om temaet, være sikker på at alle har forstått oppgaven, hvordan de skal jobbe og hva som forventes når de skal presentere sin løsning til slutt. I denne fasen er det lett å gi for mye informasjon, så her må man passe på at løsningsprosessen forblir skjult.

Underfasen kan organiseres på forskjellige måter, men uavhengig av hva du velger er det viktig at elevene får prøve seg fram uten for mye veiledning. La elevene plages litt før bryter inn.  Din oppgave som lærer er å lytte nøye og observere elevenes matematiske tenkning og hvilke ideer/strategier de bruker. Når du gir hint og støtte skal dette hjelpe eleven videre i prosessen uten å ta fra dem tankeprosessen. I denne fasen skal du vurdere om elevene er på rett vei, og også tenke på hvem du vil skal presentere løsningsforslag og i hvilken rekkefølge i etterfasen.

I etterfasen skal du legge til rette for den matematiske samtalen og oppmuntre til diskusjon og refleksjon. Lytt aktivt uten å evaluere, og finn ut hvordan elevene tenker og hvilke strategier de har brukt. Still spørsmål som hjelper elevene til å forstå og om de finner sammenheng mellom ulike strategier. Utfordr elevene til å se utover problemet, og se om det er mulig å generalisere. Kan de bruke det de har lært til løsning av fremtidige problemer? Oppsummer hovedideene og sammenhenger mellom de ulike strategiene.  

           

GOD PLANLEGGING ER MERE ENN HALVE ARBEIDET!

“Good advance planning is the key to effective teaching. Good planning “shoulders much of the burden” of teaching by replacing “on-the-fly’’ decision making during a lesson with careful investigation into the what and how of instruction before the lesson is taught” (Smith and Stein 2011, s. 76; Stigler and Hiebert 1999, s. 156).

For sikre best mulig utbytte av en problemløsingsøkt, er det viktig å legge ned en del arbeid i planleggingsfasen. Også her finnes mye litteratur,blant annet «The thinking through a lesson protocol” (TTLP) (Smith, Bill and Hughes, 2008). Mye av den samme måten å tenke planlegging er beskrevet i Elementary of middle school mathematics (Van de Walle, Karp og Bay_Williams, 2014), og siden dette er kjent litteratur for mine studenter, er det denne planleggingsguiden jeg har valgt å følge.

For å gi noen eksempler på planlegging bruker jeg en oppgave der elevene skal undersøke sammenhengen mellom omkrets og areal. Oppgaven går ut på å lage ulike rektangler av 36 kvadrater, og finne ut hvordan å regne ut omkretsen. Hva skjer med omkretsen når vi har et fast areal, men lager ulike rektangler?

Steg 1 – Bestem matematisk innhold og læringsmål

Ofte er det her de flest lærere gjør feil. For mange betyr dette at man skal finne et mål i læreplanen som forsvarer oppgaven som er valgt. Man skal selvfølgelig se på læreplanen for overordnede mål, men i denne planleggingen er det viktig å finne læringsmål som er observerbart eller målbart. Hva er det jeg vil at elevene mine kan gjøre eller forklare for å vise at de forstår? Hva vil jeg at elevene mine skal kunne eller forstå som et resultat av denne undervisningen?

“By being clear on exactly what students will learn, you will be better positioned to capitalize on opportunities to advance the mathematics in the lesson and make decisions about what to emphasize and de-emphasize” (Smith, Bill & Hughes, 2008 s.135).

Forslag til læringsmål;

Elevene kan tegne ulike rektangler der arealet er det samme, og presist bestemme omkretsen til hvert av dem

Elevene kan forklare en sammenheng mellom areal og omkrets.

Elevene kan beskrive hvordan de finner omkretsen av et rektangel.

Steg 2 – Ta hensyn til elevenes behov

Hva kan elevene fra før? Det er viktig å bygge på det kjente og utvid kunnskapen til elevene.

Her kan elevene ha ulike erfaringer og forståelse av omkrets og areal. Trolig vil noen ha den misoppfatningen at for et gitt areal vil det kun være en tilhørende omkrets. Fokus i undervisningsopplegget bør vare på forholdet mellom areal og omkrets, og ikke generalisering og formler.

Steg 3 – Velg, lag eller tilpass en oppgave

Det som tidligere er skrevet om hva et problem er og hva en oppgave må ligge i bunnen når du velger en oppgave. Når du har klart for deg læringsmål og elevenes behov, kan du bestemme hvilken oppgave du skal bruke. Du må også vurdere om oppgaven utfordrende, om den skal ha flere inngangspunkt eller løsninger.

Passer oppgaven til målene jeg har satt, og møter oppgaven elevenes behov?

Steg 4 – Bestem hva du skal vurdere, og hvordan du vil vurdere læringsutbytte underveis og etter.

I hovedsak handler dette om å tenke gjennom hva du kan observere underveis, og hvilke spørsmål du kan stille elevene dine slik at du vet om de har nådd målene du bestemte deg for i første steg. Dette er en svært viktig del av planleggingen som hjelper deg til å ha fokus på læringsmålene.

Se om elevene klarer å lage minst 3 forskjellige rektangler, og om de kan finne omkretsen på disse. Har du lagt merke til om det er en sammenheng mellom areal og omkrets?

Disse fire første stegene i planleggingen er selve ryggraden for hele undervisningsopplegget, og vil gjøre det lettere å planlegge gjennomføringen. Det er viktig å understreke at dette ikke er fire isolerte prosesser, men at de alle er med i en helhetlig plan. Valg av oppgave kan være basert på matematikken de skal lære, men kan også være valgt ut fra de behov som elevene har. Hvordan du skal vurdere underveis og etter henger sammen med læringsmålene og valg av oppgave, og når du har bestemt deg hvordan du vil vurdere elevene må du kanskje justere på både læringsmål og oppgave.

Steg 5 – Planlegg før-fasen

Hva må elevene ha av kunnskaper for å løse oppgaven, og hvilke spørsmål skal du stille for å aktivisere denne kunnskapen? Hvordan vil du presentere oppgaven, og hva kan du gjøre for å tilpasse den? Vil det være behov for oppvarmingsøvelser, og kan du knytte denne oppgaven til tidligere lært matematikk?

I eksempeloppgaven er det naturlig å samtale om begrepene areal og omkrets, prøve å sette oppgaven inn i en kontekst, og også vurdere om elevene skal begynne med en enklere versjon av oppgaven.

Steg 6 – Planlegg underfasen

Din jobb er å observere og veilede for å få innsikt i hva elevene tenker, og da må du vite hva du skal se etter, og på hvilken måte du skal hjelpe elevene. En sentral del på dette steget er å prøve å forutsi hvilke løsningsforslag som vil komme, og eventuelle vanskeligheter elevene vil møte. Derfor er det viktig at du selv løser oppgaven slik at du er forberedt på det som kan komme.

Du må planlegg hint, hvordan du kan hjelpe og spørsmål som får elevene til å undersøke/reflektere. I denne delen må du også tenke på behov for hjelpemidler (konkreter, tegnesaker osv.), og også planlegge ulike måter oppgaven kan utvides på for elever som blir fort ferdige.

Steg 7 – Planlegg etter-fasen

Hvordan skal løsningene presenteres og i hvilken rekkefølge? Her er det viktig at du tenker gjennom hvordan du skal organisere klasseromsdiskusjonen. Hva er det du vil at elevene skal sitte igjen med, og hvilke spørsmål skal du stille? Se etter mønster og se om det er mulig å generalisere. Her må du også planlegge hvordan vil du sikre deg at alle elevene blir involvert, og om har forstått. Spørsmål du har planlagt for vurdering av læring kommer naturlig inn her. Etter denne fasen kan du også velge en summativ vurdering i form av noen enkle spørsmål elevene må svare skriftlig på.

Steg 8, 9 og 10

De siste stegene handler om å se på alle delene av planleggingen i sammenheng. Dette er en foreløpig plan, og det siste du gjør er å se om selve undervisningsopplegget tar hensyn til alt du har bestemt i steg 1-4. Har du forutsett alle mulige elevsvar og elevstrategier? Har du funnet gode spørsmål som vekker elevenes oppmerksomhet i førfasen? Har du spørsmål som knyttes opp mot elevenes tenkning, og hva du øsker de skal lære i etterfasen? Husk at kvaliteten på de spørsmålene du stiller er av stor viktighet for den potensielle læringen.

God planlegging er tidkrevende, men som alt annet vil dette bli lettere når du har prøvd noen ganger. Du vil også raskt oppdage at mye av gjennomføringen kommer «gratis» når steg 1 til 4 er planlagt, og at din undervisning kan endre seg også i der du ikke har planlagt så nøye.

 

Referanser

Smith, M. S., V. Bill, and E. K. Hughes. “Thinking through a Lesson Protocol: A Key for Successfully Implementing High-Level Tasks.” Mathematics Teaching in the Middle School 14 (October 2008): 132–38.

Smith, Margaret S. and Stein, Mary Kay. 5 Practices for Orchestrating Productive Mathematics Discussions 2011 NCTM

Van de Walle, Karp & Bay-Williams (2014). Elementary and Middle School Mathematics, Allyn & Bacon; 8.ed.Essex: Pearson Educational limited uk.  

Youtubevideo hentet fra:

https://youtu.be/0UjTq3T9e64 og https://youtu.be/3DEDuy6YLtQ   (08.10.2017).