Hvor blir det av de nysgjerrige elevene?

Matematikk er kanskje det mest misforståtte faget på skolen. At elever forbinder matematikk med et huskefag (Herheim, 2016), eller som et fag der man ikke skal samarbeide eller tenke (Boaler, 2015) er bare noen eksempler som indikerer det. Forskning viser at allerede før barn begynner på skolen, har de en uformell matematisk kunnskap som er overraskende bred, kompleks og avansert. Om man ser på barn som leker, kan man observere at de utforsker mønster og former, de sammenlikner størrelser og avstander og de har en viss forståelse for mengder  (Clements & Sarama, 2007). Hva skjer når barna begynner på skolen? Hvorfor klarer vi ikke å ivareta den iboende nysgjerrigheten som barn har når de begynner på skolen?

Forskning viser at dersom elevene lærer matematikk som et sett av isolerte prosedyrer som skal pugges og huskes utenat, vil det føre til en begrenset matematisk forståelse. For det første vil man ikke kunne dra nytte av prosedyrene hvis konteksten endres, og for det andre er man låst fast hvis man ikke husker regelen (Schoenfeld, mfl., 2014). Boaler viser et eksempel som illustrerer problemet med å bare pugge regler og prosedyrer; en lærer ga et matematisk problem til elevenes foreldre. Mange av de voksne som hadde lært matematikk på den tradisjonelle måten var ikke i stand til å løse problemet. De viste at noe skulle multipliseres, men husket ikke hva. Først etter at læreren hadde satt opp likningen for dem, klarte foreldrene å løse problemet. Det som er interessant i dette eksempelet er at en elev som ikke hadde lært seg prosedyren enda, klarte å løse problemet ved å tenke logisk (Boaler, 2015). 

At matematikkundervisningen i stor grad handler om å pugge regler og prosedyrer som man bruker til å løse oppgaver som passer til den aktuelle regelen, er nok noe de fleste kan kjenne seg igjen i. Som lærer ønsker man at elevene skal føle mestring, få mulighet til å være kreative og nysgjerrige, samtidig som de skal utvikle matematisk forståelse og kompetanse. Ved å bare undervise tradisjonelt vil jeg si at vi frarøver elevene denne muligheten, noe som igjen kan føre til at de mister motivasjonen og gleden av matematikk. Det er på denne måten

vi mister de nysgjerrige barna som søker etter en forståelse av verden rundt. Kan vi undervise på en måte som gjør at elevene kan løse problemer uten å måtte pugge titals regler?

Læring og undervisning

For å beskrive hvordan elevene lærer og forstår matematikk, finnes det flere ulike teoretiske rammeverk. Richard Skemp (1976) skiller mellom begrepene instrumentell og relasjonell forståelse. Instrumentell forståelse blir kalt for regelforståelse, og karakteriseres ved at man er avhengig av regler og prosedyrer for å kunne regne matematikk. Med instrumentell forståelse har man ikke kunnskap eller forståelse til å forklare hvorfor reglene/ prosedyrene fungerer som de gjør. Relasjonell forståelse kan regnes som det motsatte av instrumentell forståelse. Elevene kan løse oppgaver uten å bruke regler og prosedyrer, og de kan forklare hvorfor regler og prosedyrer fungerer. Selv om man ønsker at elevene skal ha en dypere forståelse i matematikk, og at man har kunnskap om hvordan det kan gjøres, sier Boaler (2015) at det er et stort sprik mellom det vi vet fungerer for barn og det som skjer i de fleste klasserom.

Geometri

Geometri er et stort emne i matematikken, og betegnes som et nettverk av begreper, måter å resonnere på og systemer av representasjoner som brukes til å utforske og analysere form og rom (Battista, 2007). Historisk sett ble geometri regnet som ”det som viser hva matematikk er”. Grunnen er at alt i geometrien har sin spesielle plass, der ting følger av hverandre og ingenting er overlatt til tilfeldighetene (Bjørnestad mfl., 2006). En teori som blir mer og mer populær innen undervisning av geometri er Van Hiele-teorien. Teorien beskriver barns utvikling av geometrisk tenking gjennom seks nivåer. Modellen er hierarkisk oppbygd, som betyr at det forgående nivået må beherskes før en kan gå videre til et nytt nivå.

På nivå 0 forholder barn seg til et begrenset antall figurer uten å ha bestemt navn på dem. For eksempel ser vi at små barn kan sette puzzle brikker på rett plass, eller at de klarer å putte geometriske treklosser i riktig åpning på boksen. På nivå 1 bygger elevene på gjenkjennelse av figuren som helhet og ikke på vurdering av figurens egenskaper. For eksempel vil en elev som bare har sett kvadrater i ”standardposisjon”, ha vanskeligheter for å kjenne kvadratet igjen i andre posisjoner (se figur 2). 

På nivå 2 er eleven opptatt av egenskapene til figuren, for eksempel at rektangler har rette vinkler. På dette nivået vil de ikke kunne resonnere seg frem til at ”alle rektangler har rette vinkler” medfører at ”alle rektangler har parvis parallelle sider”. Nivå 3; eleven kan se sammenhenger mellom ulike egenskaper til en figur og mellom forskjellige figurer. På nivå 4 begynner eleven å utvikle kunnskap om definisjoner, aksiomer og teoremer, og de klarer å etablere geometriske bevis. På det siste nivået, nivå 5, kan elevene forklare formelt om geometriske systemer (Battista, 2007).  Forskning viser at elevene ligger på et lavt nivå i geometri, og at elever som regel ikke kommer seg lenger enn til nivå 3 i løpet av ungdomsskolen (ibid.).

Problembasert undervisning

Problembasert undervisning er en undervisningsmetode som passer godt inn i undervisningen av geometri.  I den generelle delen av læreplanen står følgende; ”matematisk kompetanse inneber å bruke problemløysing og modellering til å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er. Dette har òg språklege aspekt, som det å formidle, samtale om og resonnere omkring idear” (utdanningsdirektoratet, 2013).

Det som kjennetegner problembasert undervisning er at elevene skal inkluderes i læringen og de skal få oppgaver som utfordrer dem. Det fins ulike definisjoner på hva problemløsning er. Lesh & Zawojewski (2007, s.782) definerer problemløsning slik; ”en oppgave er et problem når den som skal løse problemet må utvikle mer produktive måter å tenke på om den gitte situasjonen”. En annen definisjon er av problemløsning er å se det som en kognitiv prosess rettet mot et mål, der løsningen eller løsningsprosessen ikke er åpenbart for problemløseren (Powell, mfl., 2009, s.134). Polya har beskrevet fire steg i arbeidet med problemløsning;

1.     Forstå problemet
2.      Lag en plan
3.      Gjennomføre planen
4.      Se tilbake på resultatet - vurder og diskuter. 

For at læreren skal utvikle gode problemløsere i klassen sin, kan det kreve en del i starten. Læreren må få elevene interessert i problemet, og elevene må få tid til å øve seg på å finne strategier for å løse problemet (Polya, 2013). Oppgavene må også være designet slik at nivået for å klare å starte på problemet er lav, men at problemet samtidig kan utvikles til å nå høyere nivå etter hvert. Det er dette som betegnes som ”low floor, high ceiling” (Sullivan mfl.,2015). Det er også viktig å huske på at et problem er noe som er individuelt – det som er et problem for en elev, trenger ikke å være et problem for en annen.

Undervisningsopplegg

Klassetrinn: Ungdomsskole

Tid: 1-2 undervisningstimer

Matematisk fokus: volum av sylinder

Forkunnskaper: Elevene må kjenne til begrep som volum, sylinder, PI, omkrets, diameter og høyde. De bør også vite hvordan de regner ut arealet av en sirkel.

Kompetansemål fra K06:

Geometri – kompetansemål etter 10.trinn

Elevane skal kunne :

-       undersøkje og beskrive egienskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke eigenskapane i samband med konstruksjonar og berekningar.

Elevene vil også kunne komme inn på følgende kompetansemål fra Måling etter 10.årstrinn:

- Gjere greie for talet π og bruke det i berekningar av omkrins, areal og volum.

Materiale:

-       Minst to A4 ark til hver gruppe

-       Desilitermål, målebånd, makaroni/perler

-       Tape

-       To sylindere som er ferdiglaget

Introduksjon

Elevene skal i denne oppgaven lage to sylindere av A4-ark, én der omkretsen er langsida på arket og én der kortsida er omkretsen. Elevene skal først lage en hypotese individuelt; hvilken av sylinderne har størst volum? Deretter skal de settes i grupper på 3-4 elever. I gruppene skal de presentere hypotesene for hverandre. Gjennom diskusjon skal de finne én hypotese som de skal undersøke nærmere. Elevene kan selv velge hvordan de vil undersøke hypotesen, de kan velge en helt praktisk løsning, der de bruker målebånd/desilitermål  eller de kan velge en teoretisk løsning der de tar utgangspunkt i noe de allerede kan, og prøver å regne seg fram til løsningen. I og med at oppgaven kan løses på ulik måte, ut fra hvor elevene er, kan oppgaven regnes som en ”low floor, high ceiling” – oppgave (Sullivan mfl., 2015). Selv om elevene ikke har lært formelen for volum av sylinder, har de mulighet til å finne ut hvilken av sylinderne som har størst volum. Ved å diskutere, resonnere og bygge på kunnskap de allerede har, kan de også finne ut hva som påvirker volumet, og noen vil kanskje kunne klare å komme fram til den generelle formelen. Dersom noen av elevene trenger ekstra utfordring, kan de utfordres til å bevise volumet ved hjelp av algebraiske uttrykk.

I tillegg til å se sammenhengen mellom arealet av grunnflaten og høyden i sylinderen, ønsker jeg at elevene skal bruke matematiske begreper som er hensiktsmessig for dette problemet, for eksempel sylinder, volum, grunnflate, areal, høyde..

Oppgave som gis til elevene:

Dere har vunnet en konkurranse, og i premie kan dere velge mellom to skåler med godteri. Begge skålene er laget av kartong med A4 størrelse, men ser ulik ut. Vil det ha noe å si hvilken skål dere velger, dersom dere vil ha mest mulig godteri?

Læreren skal fungere som en veileder, og stille spørsmål som får elevene til å tenke selvstendig, og reflektere rundt løsningene de kommer med.

”Hvordan kom dere frem til dette?”

”Fins det noen andre måter å løse problemet på?”

…

Avslutningsvis er det viktig at man tar opp de strategiene som er kommet frem i løpet av undervisningen. Dette kan gjerne gjøres i en felles klassediskusjon.

----------------------

Det kan virke som at tradisjonell undervisning regnes som dårlig undervisning, mens undervisningsmetoder som problembasert undervisning regnes som god undervisning. Jeg tenker at man må vurdere hver undervisningsøkt, og tenke nøye igjennom hva som vil være mest hensiktsmessig for at elevene skal lære.  Noen ganger kan det hende at en regel vil være den beste måten å lære på, mens andre ganger vil elevene få størst utbytte gjennom å selv være aktive i læringsprosessen. Alle elevene er forskjellige og har ulike tilnærminger til kunnskap. Uansett hvilken undervisningsmetode som velges, mener jeg at å snakke matematikk - hvor man får brukt begreper, argumentert for strategier og metoder og reflektert over svar, er viktig for læringen. 

Kilder:

Battista, M. T. (2007). The development of geometric thinking and spatial thinking. I F. K. Lester, . Second handbook of research on mathematics teaching and learning. (s. 843-908). Charlotte, N. C.: Information Age

Boaler, J. (2015). The Elephant in the classroom - helping children learn and love maths.

Clements, D. H., & Sarama, J. (2007). Early Childhood Mathematics Learning. I F. K.

Lester, Second handbook of research on mathematics teaching and learning (s. 461-571). USA: Inormation Age Publishing Inc.

Herheim, R. (2016). Matematikk som magi - hugsereglar og konsekvensar.

Lesh, R. & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. I F.K. Lester, Second handbook of research on mathematics teaching and learning.

Polya, G. (2013). How to Solve It. USA: Stellar Books.

Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding Mathematics teaching.

Utdanningsdirektoratet. (2013). Læreplan i matematikk - føremål. Hentet 10 14, 2017 fra https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Formaal

Utdanningsdirektoratet. (2013). Læreplan i matematikk. Hentet 10 13, 2017 fra https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-10.-arssteget.

Scoenfeld, A. H., Floden, R. E., & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project (2014). An introduction to the TRU Math Dimensions. Berkeley, CA & E. Landing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University.

Film:

Youtube.com, What is PBL? Problem based learning. 

https://www.youtube.com/watch?v=UpukYVuruqk