Tilnærming til algebra gjennom voksende mønster som problemløsning på småtrinnet





Tilnærming til algebra gjennom voksende mønster som problemløsning på småtrinnet

 

Kandidatnummer 3

Google bilde



Mange elever har sitt første møte med algebra på ungdomsskolen, og da gjerne med manipulering av algebraiske symboler uten forståelse. Resonneringsprosesser uteblir, og elever har en tilnærming til algebra gjennom ulike innlærte prosedyrer og får dermed et negativt forhold til algebra (Carraher og Schiliemann,2007).

    

Trenger det å fortsette slik?

 

Nyere forskning viser at elever på småtrinnet kan tilnærme seg algebra gjennom visuelle voksende mønster med tilhørende figurnummer, og knytte aritmetiske uttrykk til det visuelle slik at de får en mulighet for å utvikle konseptuell forståelse for algebra (Wilkie,2014).

Ifølge Carraher og Schliemann(2007) er algebra er en måte å tenke på.

Tidlig algebra omfatter algebraisk resonnering og små elever kan ta i bruk språket for å generalisere algebraisk uten å bruke algebraisk notasjon. Det kan gjøres ved å beskrive tallmønster visuelt og ikke-visuelt. Når elever knyttes aritmetikken til tenkningen er vi over på pre-algebra, og aritmetikken ligger til grunn for algebraisk tenkning. Elever er i stand til å arbeide med variabler og regler i aritmetikk før de blir undervist i algebra, og de kan lære å bruke algebraisk notasjon og teknikker selv om de ikke har blitt undervist i emnet. Kompetanse i algebra krever en evne til å se sammenhenger fra skriftlige former og underliggende strukturer, for deretter å kunne generalisere.

 

Algebra kan bli mer forståelig dersom den settes inn i en problemløsningskontekst. Lesh og Zawojewski(2007) beskriver problemløsning som prosessen der elever tolker situasjonen matematisk og lærer matematikk ved å skape matematikk gjennom modellering.

Med utgangspunkt i dette har jeg designet en undervisningsaktivitet i pre-algebra med voksende mønster som utfordrende problemoppgave.

 

En plante vokser hver dag slik dere ser på bildene. Hvor mange blader har planten på de

ulike dagene som er satt opp i skjemaet?

Oppgavene skal løses i samarbeid med læringspartner der de skal beskrive det voksende mønsteret trinn for trinn, knytte aritmetiske uttrykk til mønsteret for så å se om de klarer å generalisere. Elevene løser partallsoppgaven først og deretter oddetallsoppgaven. De ulike løsningene presenteres for de andre elevene. Etter presentasjonen må elevene få teste ut nye forslag til løsning.

 

Oppgaven er designet med tanke på formålet med matematikkfaget i Kunnskapsløftet:

”Matematisk kompetanse inneber å bruke problemløysning og moddelering til å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig løysninga er. Dette har og språklege aspekt, som det å formidle, samtale om og resonnere omkring idear”(K06,2015 s.36).

 

Oppgavens kan knyttes til følgende fire kompetansemål etter 4.trinn:

• ”lage og utforske geometriske mønster og beskrive dei munnleg”
• ”kjenne att, eksperimentere med, beskrive og videreføre strukturar i talmønster”
• ”bruke matematiske symbol og uttrykksmåter for å uttrykkje matematiske samanhengar i oppgåveløysing”  
• ”finne informasjon i tekster eller praktiske samanhengar, velje rekneart og grunngjev valet, bruke tabellkunnskap og utnytte samanhengar mellom rekneartane, vurdere resultatet og presentere løysinga”(K06,2015 s.39).

 

Jeg har valgt å støtte meg til Sullivan mfl(2015) sine fem dilemmaer en lærer må være bevisst på, og ta hensyn til i oppgavedesign. Underveis vil jeg henvise til to elevarbeider som er gjennomført med elever på 4.trinn, og noen sekvenser i prosessen som jeg har filmet.

Det første dilemmaet er konteksten oppgaven er satt inn i. Det voksende mønsteret i begge oppgavene er en plante som vokser med to nye blader for hver dag. Dette er en kontekst fra elevenes virkelighet, og elevene kan kjenne seg igjen i konteksten og får dermed konkret situasjon som kan skape en meningsfull forståelse for det voksende mønsteret.

Det andre dilemmaet handler om oppgavens språket og den tiltenkte løsningen. Gjennom det konkrete bildet (mønsteret) kan elevene utforske og beskrive strukturer og forandringer som involverer en progresjon fra trinn til trinn i det voksende mønstret der differansen er 2, både muntlig og skriftlig med en rekursiv formel. Når elevene finner en hvilket som helst verdi, variabel, til et ledd i tallfølgen uten å bygge eller beregne alle de andre dagene, tar de i bruk en eksplisitt formel(Wilkie,2014). I denne prosessen tar de i bruk både det matematiske språket og det sosiale språket, og løsningen er avhengig av hvordan elevene tolker og bruker disse. I filmen om partall kan vi høre en elev som tar i bruk det sosiale språket (hverdagsspråket) om det som er fast og det som varierer:«2, det var fast der, vi har brukt 10, vi har brukt 4, vi har brukt 3, vi har brukt 1, vi har brukt 100 (variabelen)». I filmen om oddetall hører vi elever som bruker det matematiske språket:«10 ganger n». «nn». «nn minus 1 er lik».

Det tredje dilemmaet er strukturer som refererer til graden av åpenhet i oppgaven. Oppgavene elevene får kan tilnærmes ved å ta i bruk ulike representasjonsformer som tegning og ulike aritmetiske uttrykk fra dag 1 til dag 4, og til dels dag 10. De har derfor en stor grad av åpenhet til å begynne med. Elevene kan gjennom prosessen se ulike underliggende strukturer i det voksende mønsteret.

På elevarbeid om partall ser vi at elevene som samarbeidet hadde ulike tilnærminger til mønsteret. De bruker først tegning for å finne antall blader, og en elev finner antall blader med gjentatt addisjon 2+2, 2+2+2 og 2+2+2+2. Den andre eleven har i samme skjema dobling som underliggende struktur, 2+2, 3+3 og 4+4. På dag 10 velger de bare å bruke dobling for å finne antall blader og fortsetter å tegne.

Partallsoppgaven

På elevarbeid om oddetall tegner elevene dag 4, og ser addisjon som underliggende struktur ved å skrive f.eks. 2+2+2+1=7. På dag 10 velger de bort tegningen og går over til multiplikasjon kombinert med addisjon, 2*9+1=19.

Oddetallsoppgaven

På dag 100 og dag n lukkes oppgavene noe mer da det blir naturlig å ta i bruk multiplikasjon på partallsoppgaven, og kombinere multiplikasjon og addisjon eller subtraksjon i ett uttrykk i oddetallsoppgaven for å finne en generell formel. Elevene har ikke blitt undervist i å ta i bruk ulike regnearter i ett og samme uttrykk, men tar i bruk variabler og regler i aritmetikk da de oppdager strukturen selv(Carraher og Schliemann,2007). De klarer også å frigjøre seg fra det visuelle ved å bruke de varierende mengdene fra dag til dag, til å finne en regel med å doble eller gange på bakgrunn av gjentatt addisjon og er på tur til funksjonell tenkning(Wilkie,2014).

 

Det fjerde dilemmaet er distribusjon (fordeling) der lærer velger innhold som skal være fokusert på oppgaven. I løsningsprosessen matematiserte elevene når de testet ut egne løsninger og så underliggende strukturer i mønsteret og i tillegg får de mulighet for å vurdere løsningene til andre i presentasjonen. Læringen av de tiltenkte matematiske konseptene oppdager elevene selv(Sullivan,2015).

Symbolene elevene tar i bruk representerer virkelige hendelser. Disse er nyttige verktøy for å løse problemer som hjelpemiddel i beslutningsprosessen. Elevene identifiserer og tar i bruk variabler i sine aritmetiske uttrykk og er dermed på tur til å generalisere. Elevene i partallsoppgaven generaliserer rekursivt, og elevene i oddetallsoppgaven generaliserer eksplisitt. Essensen i generalisering er å se det generelle gjennom det spesielle (Mason mfl,2014).

Det femte dilemmaet referer til nivå av samspill mellom deltakerne, der elevene engasjerer seg i oppgaven. Elevene diskuterer de ulike løsningene med læringspartner og med lærer. Lærer stiller åpne spørsmål til utfordringen for at elevene skal få mening i matematikken som f.eks. i film om partallene: «Har vi lært flere regnearter enn addisjon?» Elevene tar deretter i bruk ganging som underliggende struktur. Står elevene fast må lærer gi hint som f.eks. oddetallsoppgaven: «Kan dere bruke dagsnummeret i uttrykket?», og elevene bytter ut variabelen i uttrykket 2*9 +1 med 2*10 -1. Dette eksempelet viser aritmetikken ligger til grunn for algebraisk tenkning. Elevene endret uttrykket slik at antall blader skulle stemme med dagsnummeret. Lærer og medelev ble dermed et støttende stillas i hele prosessen(Stillman et al,2009). Skjemaet ble også viktig og fungere som et støttende stillas, da elevene kunne se sammenhengen mellom manipuleringen gjennom tegning, tallfølgen og det tilhørende aritmetiske uttrykket i et oversiktlig system.

 

I presentasjonen får elevene innblikk i, forklaring av løsninger og de ulike løsninger diskuteres. Elevene får mulighet for å oppleve matematiske ideer, utvikle nye strategier og representasjonsmåter. Undervisning fokuserer på algebraisk tenkning i problemløsning, der elevene bruker flere strategier, de lytter til andre elevers resonnering, og bygger videre på det de selv kan. Gjennom hele prosessen støttet begge gruppene seg til samhandlingen med lærer og medelev på både strategier til det ferdige produkt(Sullivan et al,2015).

 

På filmen følger vi elevene i noen sekvenser i prosessen der de oppdager nye underliggende strukturer i samarbeid med hverandre, og etter åpne spørsmål og hint fra lærer. Vi kan høre engasjementet og se kreativiteten i samspillet med læringspartner der de støtter hverandre i å mestre utfordringen(Stillman et al,2009).

 

I filmen der elevene løser partallsoppgaven knyttes Brekke mfl(2000) sin algebraiske syklus til arbeidet. Syklusen tar for seg elevers bruk av matematikk for å løse problemer i algebra. Gjennom matematisering ser elevene den matematiske sammenhengen i en konkret situasjon og tar i bruk symboler i uttrykk eller ligninger. Gjennom manipulering omformer elevene den matematiske sammenhengen, eller det symbolske uttrykket for å få frem nye aspekter ved den gitte situasjonen. Elevene tolker nye aspekt og får ny innsikt og kan løse problemet.

 

ALGEBRAISK SYKLUS

Situasjon/kontekst ----> Matematisering ----->Manipulering ------> Tolkning

          <------------------------------------------------------------------------------------ 

                                                              

                                   

I filmen om oddetallsoppgaven knyttes Lesh og Zawojewski(2007) sin matematiske modelleringssyklus til arbeidet. Denne prosessen er dynamisk og involverer fire trinn som ikke nødvendigvis kommer i strukturert rekkefølge.

    

1. Description:  Problemet gis i en kontekst fra den «virkelige verden» elevene kjenner seg igjen i og løse den hensiktsmessig ved å matematisere situasjonen. 
2. Manipulation: Eleven bearbeider og tar i bruker ulike verktøy for å løse oppgaven. Elevene resonnerer og velger strategi, der de bruker begreper, prosedyrer og fakta.
3. Prediction: Løsningen ses opp mot det virkelige problemet igjen, og den må oversettes fra det matematiske språket tilbake til hverdagsspråket for å vurdere om den er fornuftig og logisk.
4. Vertification: Elevene kontrollerer nytten av prediksjonen der de uttrykker, tester og reviderer.
   
   



Den algebraiske syklusen, problemløsning og modellering er prosesser som foregår samtidig i oppgaveløsningen i begge filmene, men jeg har valgt å konkretisere disse hver for seg. I tillegg Wilkie(2014) sin definisjon av rekursiv og eksplisitt generalisering.

      

Hva ligger til grunn for at elevene skal kunne mestre og engasjere seg i oppgaven?

 

Det er lærer som designer eller velger undervisningsopplegg som har til hensikt å utvikle ulike matematiske konsept. Gjennom læringsprosessen må lærer være aktiv i å stille åpne spørsmål og gi hint der det er nødvendig for å drive elevene videre. Lærer legger også til rette for at elevene skal få trening i samarbeid i et trygt og inkluderende læringsmiljø der de tør å gjøre feil, og der fokuset er prosess der hardt arbeid lønner seg(Sullivan,2015).

 

Undervisningsopplegget er i samsvar med det Stillman et al(2009) sier om at elever bør få mulighet for å være aktive i oppgaveløsningen der de tester ut i situasjonsnivået. Elevene tilnærmer seg oppgaven for å oppnå mening og forståelse for underliggende strukturer, gjør egne oppdagelser slik at de kan utvikle dybdelæring og metalæring. Utfordrende oppgaver får elevene til å være i en psykisk grense mellom komfortsone og risiko sone som lærer må observere og overvåke. Lærer er et støttende stillas slik at elever utvikler rik matematisk forståelse, samtidig som misoppfatninger kan avdekkes. Klarer lærer dette vil elevene på sikt opparbeide seg ulike verktøy for å være kreativ i oppgaveløsninger, og samtidig utvikle utholdenhet, føle glede og motivasjon.

Ved å legge til rett for pre-algebraiske oppgaver vil elevene ha større mulighet for å utvikle konseptuell forståelse for algebra, og være mer forberedt til algebraundervisningen de møter på ungdomskolen med funksjoner, tabeller og grafer. Oppgavene er utfordrende men gir hver enkelt elev mulighet til å mestre på sitt nivå der de tar i bruk ulike tilnærminger som beskrivelser, forklaringer, tegning og aritmetiske uttrykk. Dette har et kognitive aspekt og fører til utvikling av viktige og effektive problemløsningsskjemaer. Gjennom samarbeid med medelever utvikler de konseptuell forståelse, og trening i å utvikle muntlige sosiale og akademiske deltakelse i samfunnet(Powell mfl,2009).

 

 

Litteratur:

 

Wilkie, K.J. (2014). Learning to like algebra through looking. APMC 19(4)

 

Mason, J., Graham, A., & Johnston-Wilder, S. (2011). Å lære algebraisk tenking. Caspar Forlag AS

Brekke, Gard, Grønmo & Rosèn: Veiledning til algebra, Læringssenteret

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. Second handbook of research on mathematics teaching and learning, 2, 763-804.

Powell, A. B., Borge, I. C., Fioriti, G. I., Kondratieva, M., Koublanova, E., & Sukthankar, N. (2009).

Challenging tasks and mathematics learning. In Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom (pp. 133-170). Springer US.

Stillman, G., Cheung, K. C., Mason, R., Sheffield, L., Sriraman, B., & Ueno, K. (2009). Challenging mathematics: Classroom practices. In Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom (pp. 243-283). Springer US.

Carraher, D. W., & Schliemann, A. D.  (2007).  Early Algebra and Algebraic Reasoning.  In F. Lester (Ed.), Handbook of Research in Mathematics Education.  Greenwich, CT: Information Age Publishing, pp. 669-705.

 

Sullivan, P., Knott, L., & Yang, Y. (2015). The Relationships Between Task Design, Anticipated Pedagogies, and Student Learning. In Task Design In Mathematics Education (pp. 83-114). Springer International Publishing.

 

Bilde: Modeling cycles. https://www.google.no/search?tbm=isch&source=hp&biw=1708&bih=841&q=Modeling+cycles+Lesh+%26+Doerr+2003+&oq=Modeling+cycles+Lesh+%26+Doerr+2003+&gs_l=img.12...2689.41583.0.44827.36.35.1.0.0.0.188.3596.20j15.35.0....0...1.1.64.img..0.14.1609...0j0i30k1j0i19k1j0i8i30i19k1.0.dQFfh8tGyjM#imgrc=wQGhYYVSZQCBMM:&spf=1508075856714. Hentet og bekjært 15.10.17