Problemløsning i småtrinnet – en sosial og spørrende prosess

Veldig mange forskningsartikler tar for seg hvordan undervisning i matematikk ofte er styrt av at læreren forklarer fremgangsmåte, og elevene deretter løser oppgaver på samme framgangsmåte slik læreren har forklart. Matematikk blir ofte sett på et "huskefag" med oppgaver og problemer som elevene ikke føler de har bruk for i det virkelige liv. Elevene buker mer tid på å pugge ulike regler og fremgangsmåter enn de bruker på forståelsen av de ulike matematiske prosessene. (Herheim 2016). Men matematikk trenger ikke å være et huskefag basert på uforståelige regler og prosedyrer.

Jeg vil beskrive et undervisningsopplegg som jeg har gjennomført. Det er en problemløsningsoppgave med fokus på tallregning. Gjennom problemløsningsprosessen fokuserer jeg på to temaer for å fremme og veilede elevers ulike tankeganger, løsningsmetoder og begrunnelse/argumentasjon i problemløsningsprosessen:

-       Arbeid med sosiomatematiske normer

-       Bruk av fokuserende spørsmål som veiledning til elevene

Problemløsning er blant annet definert som en kognitiv prosess der problemløseren vil oppnå et mål men ingen løsningsmetode er åpenbar for han/henne (Powell et al 2009). Selv om det er snakk om en kognitiv prosess (altså noe som skjer individuelt), så vil jeg trekke fram viktigheten av læringen som skjer i interaksjon med andre. Jeg liker å se matematikklæring og arbeid med problembaserte oppgaver som en sosial prosess, der elevene lærer gjennom interaksjon med lærer og andre elever.

Gjennom interaksjonen mellom lærer og elever, skapes det sosiale normer i klasserommet. Gjennom matematisk interaksjon og diskusjoner i klasserommet, skapes det sosiomatematiske normer. Mens en sosial norm i klasserommet kan være f. eks. at elever er forventet å dele sin løsningsmetode, er en sosiomatematisk norm f. eks. forståelsen hva som aksepteres som en matematisk ulikhet, forklaring og begrunnelse. Sosiomatematiske normer finnes i alle "matematikklasserom", men hva som blir sett på som en akseptabel matematisk ulikhet, forklaring og begrunnelse vil variere utfra om klasserommet er styrt at "tradisjonell lærebokundervisning" eller om undervisningen tilrettelegger for undersøkende matematikk/problemløsning (Yackel&Cobb 1996). Gjennom problemløsningsprosessen kan elevene bli mer bevisste på hva som er akseptert som matematisk ulikhet, forklaring og begrunnelse.

Gjennom problemløsningsprosessen, er veiledning av elever veldig viktig. Læreren kan styre/styrke elevenes tankegang gjennom spørsmålsstilling. Her kan man skille mellom to ulike spørsmålstyper: fokuserende spørsmål og traktspørsmål. Traktspørsmål er spørsmål som læreren kan bruke for å få elevene inn på lærerens tankemåte, men det skaper lite rom for at elevene skal tenke selv eller bruke egne matematiske ideer for å løse et problem. Eksempel på traktspørsmål kan være "Hva om du adderer enerne først og deretter tierne?". Til motsetning til traktspørsmål er fokuserende spørsmål. Dette er spørsmål der læreren tar tak i eleven sine matematiske ideer og bygger videre på dette. Eksempel på fokuserende spørsmål kan være: "Ser du noe du kan bruke for å finne en løsning?" eller "Hva har du tenkt her?" (Stillman et al 2009).

Denne problemoppgaven ble gitt til 2. trinnselever som introduksjon til temaet "Regning med tallene flersifrede tall".

Som nevnt tidligere, er tradisjonell matematikkundervisning ofte lagt opp til at læreren forklarer framgangsmåte og elevene løser oppgaver slik det er forklart. En slik framgangsmåte støtter ikke elevenes forståelse av hva som skjer i prosessen når man regner med flersifrede tall. Det kan være stor kontrast mellom den mentale aritmetikken som skjer når elevene regner, i forhold til standardalgoritmene som finnes (F. K. J. Lester 2007). Målet for dette opplegget var å la elevene finne og bruke egne regnestrategier med tall opp til 100. Det er viktig at læreren har kunnskap om regnestrategier elever bruker når de regner med flersifrede tall. Elevene vil kanskje f.eks. dekomponere tiere og enere, hvor tiere legges sammen for seg og enere for seg for deretter å legge alt sammen (f. eks. 36+36 = 30+30+6 + 6 = 72) . Eller de vil starte med et tall, for så å legge til tiere og enere til det andre tallet hver for seg (f. eks. 36+36 = 36+30+6 = 72). Eller elevene vil bruke en blanding av begge strategiene (F. K. J. Lester 2007). Ved å ha kunnskap om disse regnestrategiene, vil læreren lettere kunne bruke elevens matematiske ideer i problemløsningsprosessen og klasseromsdiskusjonen.

Undervisningsopplegget "Kioskproblemet"

Tidsbruk: ca 2 klokketimer

Utgangspunkt for opplegget er følgende læringsmål fra K06:

-       (Eleven skal kunne) utvikle, bruke og samtale om varierte reknestrategiar for addisjon og subtraksjon av tosifra tal og vurdere kor rimelege svara er

Undervisningsopplegget går gjennom en firedelt prosess.

Gjennom prosessen er målet at elevene skulle oppdage og bruke ulike regnestrategier både ved bruk av egen kunnskap, nye oppdagelser og gjennom samhandling med medelever og lærer.

1.      Felles introduksjon av problemet

Kioskproblemet

Etter en tur på kiosken har du brukt nøyaktig 100 kr. Hva har du kjøpt? Finn ulike løsninger.

Gjennom en felles introduksjon av oppgaven er det viktig at elevene får en felles forståelse av hva problemet er. I denne introduksjonen gir jeg ingen forslag til hvordan elevene kan løse problemet. Elevene kan stille spørsmål dersom de er usikker på noe eller noe er uklart.

Jeg forklarer også hvordan arbeidsprosessen er lagt opp. Bestillingen fra meg er at de skal finne ulike løsninger, der minst én skal presenteres for klassen. De skal forklare hvordan de kom fram til denne løsningen og begrunne hvorfor denne løsningen er riktig.

1.     Alene tenketid

Etter at problemet er introdusert får elevene tid til å tenke på egenhånd. De må ha med seg kladdebok og skrivesaker, og kan begynne å skrive ned ideer de har til løsning av problemet. Jeg har alltid konkretiseringsmateriell er tilgjengelig i klasserommet for de som ønsker å bruke det. Til denne oppgaven hadde jeg base10 og mynter. Da de fleste elevene hadde lite erfaring med regning med tall til 100, ville konkretiseringsmateriellet kunne hjelpe til å visualisere regneprosessen de holdt på med.

Elevene arbeider individuelt, mens lærer går rundt og veileder dem. Her kan man bruke fokuserende spørsmål for at eleven skal kunne beskrive og utvikle egne matematiske ideer. Stillman et al har en liste av foreslåtte spørsmål elevene kan bruke når de arbeider med problemløsningsoppgaver. Når jeg jobber med elever på småtrinnet, bruker jeg disse type spørsmål for å veilede elevene i arbeidet. Dette også for å lære elevene hva slags spørsmål de kan stille seg selv når de arbeider med problemløsningsoppgaver.

(Stillman et al 2009).

Noen fokuserende spørsmål man kan stille for å få elevene i gang med kioskproblemet eller for å sette ord på sin tankegang er:

-       Hva er det du skal finne ut av her?

-       Hva kan du gjøre for å finne ut av hva som blir 100kr tilsammen?

-       Hvordan har du tenkt når du har gjort dette?

-       Hvorfor er denne løsningen rett?

Ved å stille slike spørsmål kan læreren ta tak i de matematiske ideene til elevene, slik at de kan bygge videre med sine egne tankeganger og fremgangsmåter (Stillman et al 2009).

1.     Samarbeid i par

Etter at elevene har arbeidet en stund alene, setter jeg dem sammen i par. Nå skal elevene diskutere ulike løsninger de har funnet. De skal finne ut av hvilke løsninger som kan brukes/forkastes, i tillegg til å samarbeide om å finne andre løsninger.

Elevene trenger øvelse for å få til å snakke matematisk med hverandre. Med å snakke matematisk mener jeg at elevene skal dele sin løsning på problemet og begrunne løsningen sin, i tillegg til å lytte til og prøve å forstå det medeleven forklarer. Mange elever vil kanskje kun si svaret, uten å gi noen begrunnelse for det. I tillegg kan noen ha problemer med å lytte til medeleven sin og godta at andre enn ens egen løsning er akseptabel. De vil kanskje også bruke status og autoritet for å bestemme hvem som har en rett løsning. For eksempel vil kanskje en "populær" elev være den som automatisk har "den beste" løsningen, eller de vil diskutere hvem som har "den beste" løsningen utfra helt andre kriterier enn matematisk begrunnelse. Elevene trenger øvelse i å forklare og begrunne sine løsninger for deretter å bestemme hvilke løsninger de mener er gode. Man jobber da med at de sosiomatematiske normene som er i klasserommet og at de matematiske forklaringer og begrunnelser skal vektelegges (Yackel&Cobb 1996).

For å hjelpe elevene til å dele løsninger med hverandre og øve på å forklare og lytte, pleier jeg å gi dem en klar instruksjon på hvordan de skal gjøre det:

-       Elev 1 forklarer sin løsning

-       Elev 2 gjenforteller det elev 1 har sagt og spør dersom noe er uklart

-       Elev 2 forteller sin løsning

-       Elev 1 gjenforteller og spør dersom noe er uklart

For å illustrere hvordan barn kan øve på å snakke matematisk med hverandre, både ved å forklare sin løsning og lytte, kan man se hvordan disse elevene arbeider sammen:

Det er viktig at læreren stiller fokuserende spørsmål for å hjelpe elevene til å begrunne sin løsning og å se/forstå medeleven sin løsning. Læreren kan stille spørsmål som:

-       Hvordan kom du fram til denne løsningen?

-       Forstår du hva han/hun har tenkt her?

-       Tenkte du på en annen måte? På hvilken måte tenkte du forskjellig?

Ved å gjøre dette, vil elevene bli mer bevisste på at det finnes ulike veier for å finne fram til samme svar. I tillegg til at de sosiomatematisk normene utvikler seg ved at elevene blir mer bevisste på hva som er en matematisk ulikhet (eller likhet) i de ulike elevsvarene – f. eks at elevene har kommet fram til samme svar, men løst det på ulike måter (Yackel&Cobb 1996).

Et eksempel fra da jeg gjennomførte dette undervisningsopplegget var det en jente som hadde kommet fram til at om man tok to sjokoladeplater og to iskremer ville dette bli 100 kr tilsammen – 36 + 36 + 14 +14 =100. Hun forklarte hvordan hun hadde begynt med å legge sammen 36+36 = 30+30+6+6 = 72. Deretter gjorde hun samme prosess med å legge til 14 to ganger. Eleven hadde dekomponert tallene i tiere og enere for deretter å legge det sammen (F. K. J. Lester 2007).  Da jeg spurte om den andre eleven gjort det på en annen måte, kunne han fortelle at han hadde tatt 36+14=50 fordi han visste at 4+6 = 10 og 30+10 er 40. Deretter tok han 50+50=100. Denne eleven har også dekomponert i tiere og enere, men gjort det på en annen måte. Slik fikk disse to elevene se at de hadde kommet fram til samme løsning, men at fremgangsmåtene deres var ulike.

 

 (Bildene viser ikke utregningen deres - den forklarte de til meg muntlig)

4.     Klasseromsdiskusjon

Etter at elevene har arbeidet en stund i par, samler klassen seg for å ha en felles klasseromsdiskusjon.

Nå skal elevpar komme opp foran klassen og presentere en løsning de vil dele.

Elevene skal ikke bare skal presentere sin løsning, men også forklare og begrunne løsningen sin. Etter at elever har presentert sin løsning, må lærer prøve å få (bedre) fram hvilke fremgangsmåter de har brukt og hvordan de kan begrunne at dette svaret er rett.

Likt som da elevene arbeidet i par, kan lærer stille fokuserende spørsmål for at elevene skal bli mer bevisst på de matematiske ulikhetene (f. eks samme svar, men ulik måte å komme fram til svaret) som kan være i samme svar, og for at elever skal presentere og lytte til begrunnelser:

-       (Spør den ene eleven): Hvordan tenkte du for å komme fram til dette?

-       (Spør den andre eleven): Tenkte du på en annen måte?

-       Er det noen andre i klassen som har samme løsning, men som tenkte på en annen måte? (Eventuelt spørre direkte en elev jeg vet har tenkt på en annen måte)

-       Var dette en ulik løsning?

-       Hvordan vet du/dere at denne løsningen er rett? Hvorfor blir dette 100 tilsammen?

-       Kan dere vise hva dere har tenkt (f. eks på en tallinje eller med konkreter).

Jeg bruker kunnskapen jeg har om elevenes ulike løsningsmetoder, altså at jeg vet hvem som har brukt ulike løsningsmetoder.

Da elevene samarbeidet i par, skrev jeg om hvordan to elever hadde begge kommet fram til løsningen 36+36+14+14=100, men på to ulike måter. Jeg visste at det var en elev i klassen som hadde også kommet fram til samme løsning, men hun hadde brukt subtraksjon, altså 100-36-36-14-14=0. Dette var for meg veldig verdifullt, for da kunne denne eleven vise klassen enda en godkjent og akseptabel måte å komme fram til samme løsning som de andre.

Dette er bare et eksempel på hvordan man kan arbeide med en problemløsningsoppgave hvor lærerens spørsmålsstilling setter elevenes matematiske ideer er i sentrum og der elevenes forståelse av matematiske ulikheter, forklaringer og begrunnelser tar del i utvikling av sosiomatematiske normer i klasserommet.

Kilder:

F. K. J. Lester (Ed.)(2007), Second handbook of research on mathematics teaching and learning, chapter 13. Charlotte

Herheim, R. (2016). Matematikk som magi – hugsreglar og konsekvensar. I T. E. Rangnes & H. Alrø (Red.), Matematikklæring for framtida: Festskrift til Marit Johnsen-Høines (s. 129–146). Bergen: Caspar Forlag.

Powell, A. B., Borge, I. C., Fioriti, G. I., Kondratieva, M., Koublanova, E., & Sukthankar, N. (2009). Challenging tasks and mathematics learning. In Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom (pp. 133-170). Springer US.

Stillman, G., Cheung, K. C., Mason, R., Sheffield, L., Sriraman, B., & Ueno, K. (2009). Challenging mathematics: Classroom practices. In Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom (pp. 243-283). Springer US.

Yackel, E. and P. Cobb (1996). "Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics." Journal for Research in Mathematics Education 27: 458-477.