Hvordan plenumssamtalen kan gi økt forståelse i arbeidet med funksjoner

Dette blogginnlegget tar for seg hvordan plenumssamtalen i matematikkundervisningen kan gjennomføres for legge til rette for en dypere forståelse for sammenhenger mellom representasjoner av lineære funksjoner.

I likhet med Skemp definerer jeg forståelse i matematikken i to former; instrumentell og relasjonell. Å ha instrumentelle forståelsen kan kort beskrives ved at man kan gjennomføre innøvde regnestrategier uten å forstå hvorfor det blir rett. Skemp beskriver dette som rules witout reasons (Skemp, 1986). Eleven vil derfor ha vanskeligheter med å benytte seg av det matematiske innholdet i et problem eller utfordring, da det er en mangel på bevissthet om hvordan trinnene i de ulike instruksjonene henger sammen. Skemp forklarer dette med at eleven ikke har utviklet et passende skjema (Ibid).

Hvis man har relasjonell forståelse, så vet man både hva skal gjøres og hvorfor. Her mener Skemp at eleven har etablert et godt skjema, som vil gjøre eleven i stand til å utlede forskjellige fremgangsmåter, og oppdage hvordan de ulike begrepene og kunnskapene i skjemaet forholder seg til hverandre. Slik vil eleven kunne komme seg fra et utgangspunkt i skjemaet sitt til et vilkårlig sluttpunkt (Ibid).

Hiebert og Lefevre deler også Skemp ordning av forståelse i to former, og kaller disse for Conceptual og Procedual Knowledge. I likhet med Skemps relasjonelle forståelse, mener Hiebert og Lefevre at utviklingen av konseptuell forståelse er en prosess der kunnskap knytes sammen i mentale skjemaer (Hiebert & Lefevre, 1986). Hiebert og Lefevre mener prosedyrebasert forståelse består av kjennskap og bruk av det formelle matematiske språket og fagets regler, algoritmer og prosedyrer. Derfor mener de at den er selve verktøyet i den helhetlige forståelsen som synliggjør den konseptuelle forståelsen, og bygger på hverandre (Ibid). Skemp holder derimot instrumentell og relasjonell forståelse på adskilte nivåer.

Så ved dypere forståelse mener jeg her en relasjonell forståelse for funksjonsbegrepet, der elevene ser sammenhengene mellom funksjonsuttrykkets stigningstall og konstantledd og funksjonens grafiske framstilling. Hvordan kan så plenumssamtalen brukes og styrkes som pedagogisk virkemiddel for å legge til rette for relasjonell forståelse?

Kommunikasjon har alltid vært et viktig verktøy i all innlæring, og i den senere tid har kommunikasjonen fått en stadig sterkere plass i matematikkundervisningen. I følge KL-06 er variasjoner av kommunikasjon tre av de fem grunnleggende ferdighetene i matematikkundervisningen. Med fokus på plenumssamtalen vil jeg altså ta for meg en av de grunnleggende ferdighetene i matematikk; evnen å kunne uttrykke seg muntlig.

Munnlege ferdigheiter i matematikk inneber å skape meining gjennom å lytte, tale og samtale om matematikk. Det inneber å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål og argumentere ved hjelp av både eit uformelt språk, presis fagterminologi og omgrepsbruk. Det vil seie å vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte matematiske problem, løysingar og strategiar med andre. Utvikling i munnlege ferdigheiter i matematikk går frå å delta i samtalar om matematikk til å presentere og drøfte komplekse faglege emne. Vidare går utviklinga frå å bruke eit enkelt matematisk språk til å bruke presis fagterminologi og uttrykksmåte og presise omgrep.

Grunnleggende ferdigheter; Lærerplan i Matematikk fellesfag 

Å styrke elevens evner i den faglige samtalen, er altså ikke bare et middel til læring, men også i seg selv en grunnleggende ferdighet. De må utvikle evnen til å bruke det matematiske språket, slik at det blir lettere forståelig for andre, og må derfor øves i situasjoner der dette er nødvendig. Når de øker sin faglige evne til argumentasjon, vil de også øke sin faglige forståelse.

Dette, sammen med verbene i kompetansemålene, viser tydelig at undervisningen må løftes fra «show and tell»-formen som har kjennetegnet matematikkundervisningen i Norge i for lang tid. Elevene skal lære gjennom å involveres i flere sekvenser av undervisningen, enn å i hovedsak gjengi kunnskap gitt av læreren gjennom oppgaveløsning. Skovsmose mener undervisningen har hatt preg av et oppgaveparadigme, der lærer starter med å presentere nytt stoff, tar utgangspunkt i eksempler, før elevene løser oppgaver (Skovsmose, 1998). Dette mener han må endres til noe han kaller et undersøkelseslandskap, en modell av lærer-elev-utforskning, hvor elevene gjennom undring utforsker matematikken. Læreren stiller åpne problemstillinger, og eleven velger hvordan problemet gripes an, og derfor selv spør «Hva om…?», «Hvis…?» og «Hvordan kan vi vite at det alltid stemmer?».  (Skovsmose, 1998). Dette undervisningsopplegget velger jeg å plassere i en overgang fra oppgaveparadigme mot undersøkelseslandskapet, og det er derfor mest naturlig, og helt vesentlig, at lærer stiller slike spørsmål (se mer om dette senere).

Alan H. Schoenfeld har ledet utviklingen av TRU Math (Teaching for Robust Understanding in Mathematics), sammen med flere anerkjente forskere ved amerikanske NCTM (National Council of Teachers of Mathematics). TRU Math er et rammeverk for undervisning i matematikk, der de blant annet har de satt opp 5 dimensjoner for en robust undervisning i matematikk.

I de fleste av de fem dimensjonene er samtalen framtredende. I TRU Maths første dimensjon Mathematics mener de at innholdet i undervisningen må gi mening ved at undervisningen hjelper elevene til å se sammenhenger og koblinger mellom prosedyrer, begreper og kontekst. Slik kan de utvikle forståelser som er robuste og regenerative, som utvikle dem til matematiske tenkere, og som hjelper dem til å utnytte matematikken effektivt. (Schoenfeld & Floden, 2014)

Andre dimensjon er Cognitive Demand, der det må legges opp til at elevene opplever produktiv struggle, slik at de gir mulighet til å utvikle relasjonell forståelse. Her er Schoenfeld tydelig på at hvis elevene blir foret med hvordan løse matematiske løsninger bit for bit, så gis de ikke muligheten til å utvikle en dypere forståelse. Aktivitetene og utfordringene må ligge i en fornuftig mellomting mellom «mating med teskje» og for store utfordringer. Da kan elevene bygge den nødvendige mengden stillaser av kunnskap for å kunne forstå de utfordringene de møter. I tillegg må læreren gi de valgfrihet i løsningsprosessen, og støttes i læringen både individuelt, parvis og i plenumssamtaler ved å stille klargjørende spørsmål, som gir de muligheten til å undre, tenke og forstå. (Schoenfeld, 2014)

Under Access to Mathematical Content må aktiviteten legge til rette for at alle elevene kan delta og engasjere seg i undervisningen.

No matter how rich the mathematics being discussed, a classroom in which a small number of student get most of the «air time» is not equitable (Schoenfeld, 2014:13)

Her fremhever fordelen med å få fram ulike løsningsstrategier gjennom klasseromsdiskusjoner, og knytte samme disse til en dypere forståelse. Læreren må skape forventninger, gjennom bevisst planlegging, om at alle, på sitt nivå, skal delta i slike diskusjoner, og gi en trygghet på at de kan. Diskusjonene brukes til å skape klarhet for både utfordringen og løsningsprosessen ved bevisste valg i hvordan diskusjonen styres, og ved å ta utgangspunkt i elevenes utsagn.

TRU Maths fjerde, og siste dimensjon jeg tar for meg, er Agency, Authority and Identity. Her mener de at vellykket undervisning er avhengig av i hvilken grad elevene får mulighet til å hypotetisere, forklare, fremme sine matematiske argumenter og bygge på hverandres ideer, og på måter som bidrar til å øke elevenes faglige motivasjon og selvbilde.

Students have the opportunity to generate and share mathematical ideas, either publicly or in small groups; the extent to which authorship is recognized its collective mathematical understanding. (Ibid)

Fra egen praksis er slik undervisning vist seg å være den viktigste faktoren for å bygge opp elevene, og særlig de med lavt faglig selvbilde. Å la de oppleve å bidra med ideer og løsningsstrategier, om så bare som en start for klassens felles arbeid fram mot løsning, har gitt de tro på egen evne som matematiske tenkere. Og de gangene de selv ser «hele veien» er ubetalelige.

For å styrke slike faglige gruppe- eller plenumsamtaler trekker Schoenfeld fram Resnik, O’Connor og Michaels «six important talk moves for hvordan læreren bør styre undervisningen gjennom strategiske grep og spørsmål.

TRU Math framhever altså behovet for plenumssamtalen, slik at tilgangen til matematikken skal komme både fra lærer og fra medelevers tanker og ideer, og bygge opp elevenes faglige identitet og selvbilde. Gjennom utfordringene de møter ved å måtte fremme, begrunne og argumentere for egne og andres strategier vil de også gis andre og økte kognitive utfordringene. Gjennom slik undervisning vil også sammenhengene i faget bli tydeligere, og elevene kan bygge en relasjonell forståelse. Læreren må være bevisst på hvordan dette skal organiseres, og sin egen rolle som tilrettelegger for den faglige diskusjonen gjennom bevisste valg og strategiske spørsmål.  

Undervisningsopplegget

Undervisningsopplegget jeg har valgt som eksempel er ment for å skape relasjonell forståelse for lineære funksjoner på 8.–10. årstrinn.

En funksjon kan presenteres på fire ulike måter; som en formel, en graf, en tabell eller ved å beskrive situasjonen ved tekst eller verbalt. Å oversette fra én representasjonsform til en annen er ifølge Janvier (1987) både krevende og avgjørende for å etablere en relasjonell forståelse for funksjoner. De mulige oversettelsene mellom disse representasjonene er vist i Janvier-tabellen under.

Som nevnt skal elevene i dette undervisningsopplegget undersøke sammenhenger mellom funksjonsuttrykket for lineære funksjoner (y = ax + b) og grafens stigningstall og skjæringspunkt med y-aksen. Opplegget skal legge et kognitivt grunnlag for å blant annet kunne oversette fra funksjonsuttrykket til grafisk framstilling uten å gå om verditabell og utregning av koordinater, for så videre kunne finne funksjonsuttrykket til en gitt graf. Det sistnevnte blir ikke tatt med i skissen av undervisningsopplegget.

Organisering av samtalen

Selve samtalen veksler mellom samtale i par og i plenumssamtale, der hele klassen er involvert.

Visualiseringen gjøres i GeoGebra både på elevenes PC (ved hver betenkningstid) og i plenumsdelen visualiseres utfordringene og elevenes løsninger og hypoteser på Smart-tavle eller projekteres på lerret.

GeoGebra er i slike sammenhenger et svært godt redskap, da det effektiviserer elevenes undersøkelser, og gir presis visualisering. Da kan sammenhenger oppdages, og hypoteser testes, lettere enn ved manuell utføring på ark. Forskning viser positive effekter ved bruk av teknologi i algebraundervisningen, hvis den benyttes som et pedagogisk verktøy. (Kieran, 2007) Videre kan bruk av teknologi endre den didaktiske kontrakten fra en tradisjonell lærerstyrt undervisning til elevers forskning og diskusjon. Teknologien kan det spille en vesentlig rolle i konseptualiseringen av matematiske utfordringer ved at de kan lettere visualiseres, og ikke brukes som et redskap for rask løsning. Slik kan det også endre samhandlingen mellom elev-elev og elev-lærer. (Heid, et al., 2013)

Videoen under viser også hvordan GeoGebra viser grafen mens funksjonsuttrykket skrives inn, noe som gir et flott utgangspunkt både for å gi utfordringer via programmet og for å teste elevenes hypoteser.

Hver utfordring til parene gis med betenkningstid, som lærer bruker til monitorere og veilede, for lettere kunne styre hvem som bør få komme med sine tanker, ideer, hypoteser og strategier når samtalen igjen går over i plenum. (Smith og Stein, 2008)

Lærer må være tydelig på at det viktigste er veien fram til svaret, og hvorfor valgene blir gjort og hvorfor det blir rett, og ikke selve svaret. Her bør spørsmålene fra «Talk Moves» benyttes, både for å få elevene til å begrunne sitt svar, og for å få klassen engasjert i samtalen. Elevenes hypoteser bør derfor testes med andre funksjonsuttrykk enn de som ble brukt under forskningen (iht. opplegget under).

Selve opplegget

…består av 4 deler, som alle består av utforsking i par og deling i plenum med testing av elevenes hypoteser:

1. La elevene utforsker sammenhengen mellom grafene og funksjonsuttrykkene ved funksjoner med samme konstantledd (velg proporsjonaliteter) og ulike stigningstall.

2.      Utforsking av funksjoner med samme stigningstall og ulike konstantledd

3.      Etter hvert bør de nå være klare for å jobbe med følgende utfordringer, der de ikke får bruke egen PC, men tavlemaskin brukes til å vise eller teste hypotesene.

a.      Hvor vil så grafen til f(x) = 3x + 1 skjære y-aksen?

b.      Enn g(x) = 3x – 1 ?

c.       Hvorfor vil de bryte ved y = 1 og y = -1.

d.      Hvilken verdi har x når grafen skjærer y-aksen? Stemmer det da, hvis vi setter inn x = 0?

e.      Hvorfor ble g(x) brattere enn h(x)?

f.        Vil en graf ha samme stigning selv om vi endrer på konstantleddet.

Spørsmålene er ment for undring og guiding fram mot å oppdage sammenhenger.

4.      Elevene jobber med en hypotese som beskriver hvilken sammenheng det er mellom funksjonsuttrykket og funksjonens graf, som løftes fram og utvikles i plenum.

Litteraturliste:

Heid, M. K., Thomas, M. O., & Zbiek, R. M. (2013). How Might Computer Algebra Systems Change the Role of Algebra in the School Curriculum?. In Third international handbook of mathematics education (pp. 597-641). Springer New York.

Hiebert, J. and P. Lefevre (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introcutory analysis. Conceptual and prodecural knowledge: The case of mathematics. J. Hiebert. Hillsdale, NJ, Lawrence Erlbaum Associates.

Kazemi, E. and A. Hintz (2014). Intentional Talk: How to Structure and Lead Productive Mathematical Discussions, Stenhouse Publishers.

Kieran, C. (2007) Building Meaning for Symbols and Their Manipulation F. K. J. Lester (Red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning. Charlotte.

Janvier, C. (1978): The interpretation of complex cartesian graphs representing situations – studies and teaching experiments. University of Nottingham.

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E., & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. (2014). An introduction to the TRU Math document suite. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University.

Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding, Mathematics Teaching.

Stein, M. K., Engle, R. A., Smith, M. S., & Hughes, E. K. (2008). Orchestrating productive mathematical discussions: Five practices for helping teachers move beyond show and tell. Mathematical thinking and learning, 10(4), 313-340.

Utdanningsdirektoratet (2017). Læreplan i matematikk fellesfag. Grunnleggjande ferdigheiter. Hentet fra https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Grunnleggende_ferdigheter