Algebra - En dørstokk mange har snublet i!

Figur 1 - Algebra

Jeg minnes algebra med ganske blandede følelser fra egen skolegang. Jeg hadde lært meg å regne. Jeg kunne jo matematikk. Jeg hadde orden, algoritmene og reglene satt som spikret i pannebrasken. Språket var ikke vanskelig. Vanlige tall med enkle og aksepterte symboler som + - x / og ikke minst =. Plutselig, nesten helt ut av det blå, kom det nye symboler. Det var som å bli introdusert for et nytt språk der man skulle være i stand til å føre en samtale allerede etter første time. Det var nå tid for å lære algebra!

Er det noen av dere lesere som kan relaterer til dette? Hvis ikke misunner jeg dere.

Hva er egentlig algebra?

Det kan betraktes som aritmetisk regning med variabler også kalt ukjente. Det handler også om å manipulere uttrykk og likninger. Dette betyr dermed at algebra springer ut fra aritmetikk eller at aritmetikk har en algebraisk karakter (Carraher & Schliemann, 2007).

Matematikksenteret forklarer at algebra er et emne innenfor matematikken som ofte oppleves fjernt og vanskelig for eleven og at dette kommer av generaliseringen og abstraheringen som skjer innenfor emnet (matematikksenteret, 2017). Carraher & Schliemann (2007) mener en mulig løsning er å starte arbeidet med algebra på et tidligere stadium i skolen. De viser til en rekke forskning som hevder at barn i lavere klassetrinn har evnen til å regne algebra før de har lært algebraisk notasjon og formell generalisering. De bruker begrepet tidlig algebra som innebærer at elevene arbeider med variabler, relasjoner og strukturer uten å ha lært algebra. Dette argumenterer de for gjennom å vise til at algebra ligger latent i de aritmetiske regneoperasjonene som elever tidlig på mellomtrinnet skal lære. De spør seg: «Would our time and energy be better spent strengthening the exsisting early matehmatics curriculum?» (Carraher & Schliemann, 2007). De viser til Booth (1988) som hevder at problemene ungdommer har med algebra ikke nødvendigvis er tilknyttet algebra direkte, men kommer av deres misoppfatninger knyttet til aritmetikk. Altså er det nærliggende å tro at et større fokus på tidlig algebra vil kunne resultere i bedre matematisk forståelse knyttet til algebra på et senere stadium i skoleløpet.

Betrakter vi Booth (1988) i sammenheng med mitt møte med algebra kan det hende at det har en viss forklaringskraft. Jeg kunne regne matematikk. Jeg fikk riktig svar og kunne sette regnestykker opp etter de gitte reglene. Betyr ikke dette at jeg har forstått? Ikke ifølge Skemp (1976). 

Figur 3: instrumentell og relasjonell forståelse 

I følge han kan vi betrakte forståelse innenfor matematikk på to måter. Vi har instrumentell forståelse som kan kalles regelforståelse. Det som karakteriserer denne forståelsen er at man er avhengig av regler for å kunne regne matematikk. Man er ikke i stand til å forklare reglene, og dersom man skulle være så uheldig å bruke reglene feil vil man ofte ende opp med feil svar. Den andre formen for forståelse er relasjonell forståelse som kan betraktes som den rake motsetning av instrumentell forståelse.

Ut i fra dette kan det virke som at min matematiske forståelse var mer instrumentell hvor jeg hadde evnen til å huske regler, fremfor å forstå matematikken som ligger bak. Boaler (2015) hevder at dette er et stort problem for mange elever og at årsaken til dette ofte kommer av måten matematikk presenteres på i skolen. Undervisningen er ofte veldig tradisjonell, noe som innebærer at læreren står ved tavlen og forklarer regler. Deretter regner elevene oppgaver hver for seg i sine skrivebøker. Hun tar opp 3 forhold ved dagens undervisning som gjør det vanskelig å virkelig forstå matematikk.

1.     Læring uten refleksjon – når elevene blir servert reglene de trenger er det ikke behov for å tenke selv.

2.     Læring uten samtale – matematikk betraktes som et språk og krever dermed at man snakker om og med matematikk. Elevene sitter ofte hver for seg å regner uten samtale eller drøfting.

3.     Læring uten virkelighet – matematikkoppgavene i dagens skole er så fjernt fra virkelige problemer at elevene sliter med å forstå hva de lærer skal brukes til.

«It is ironic that maths, a subject that should be all about inquiring, thinking and reasoning is one that students have come to believe requires no thought» (Boaler, 2015, s. 37).

En måte å arbeide annerledes i undervisningen slik at vi unngår de overnevnte utfordringene er ved at elevene får arbeide problemløsende i matematikk. Dette innebærer oppgaver som gir elevene utfordringer når det kommer til å løse problemet. Oppgaven er et problem når elevene ikke har de verktøyene som kreves for å løse oppgaven, og dermed må prøve seg frem for å finne svaret. Dette fordrer kreativitet, refleksjon og uortodokse løsninger (Lesh & Zawojewski, 2007). Dette kan være med på å hjelpe elevene til å forstå hvorfor matematikken fungerer som den gjør. Elevene besitter egne strategier og egne måter å tenke på. Denne formen for undervisning omfavner elevenes strategier, fremfor å pugge på standard algoritmer og allment aksepterte regler. noe som kan medføre at elevenes forståelse blir bedre.

For å oppsummere; Elevene er i stand til å arbeide med algebra på et tidligere stadium i skolegangen (Carraher & Schliemann, 2007), hvordan elevene forstår matematikk og ser sammenhenger er viktig for matematisk utvikling og nøkkelen ligger i undervisningen (Boaler, 2015) og til sist; problemer elever har med algebra kan skyldes hull i den allerede etablerte forståelsen knyttet til aritmetikk (Carraher & Schliemann, 2007).

Ett av de mest fremtredende symbolene i matematikken er likhetstegnet (=). Elevene møter symbolet veldig tidlig og en skulle tro at forståelsen for dette tegnet var god hos alle elever. Forskning viser at elever har instrumentell forståelse knyttet til likhetstegnet og at årsaken er måten oppgaver er utviklet på i matematikkbøkene (Van de walle, Bay-Williams, Karp, & Lovin, 2014). Carraher & Schliemann (2007) forklarer at en av oppfatningene elever har av likhetstegnet er at matematikk skrives fra venstre til høyre, og at det som kommer etter likhetstegnet alltid er svaret, og det som står til venstre alltid er problemet. Elever tror også at tegnet betyr blir og at dette kommer av at tidlig i skolegangen så vet ikke elevene svaret på de ulike beregningene, samt at mengden av slike oppgaver er stor i de tidlige skoleårene. Denne oppfatningen er med på å vanskeliggjøre overgangen til blant annet likninger (Bergsten, Häggeström, & Lindberg, 1997). Tøgersen (2015) viser i sin masteroppgave som omhandler likhetstegnet at en typisk idé elevene har er at = betyr regn ut og at dette viser til instrumentell forståelse knyttet til symbolet.

Figur 4: Likevekt 

Bergsten m.fl (1997) hevder at målet må være at eleven har en er like mye som – tolkning. Med dette mener de at elevene må forståelse for at mengden på venstre side av = er akkurat like stor som mengden på høyre side, og at man da kan lese matematikken begge veier. Dette vil videre gjøre det lettere for elevene å forstå algebra. Dette illustrerer godt at algebra ligger latent i aritmetikken og at det kan tas i bruk på et tidligere stadium i skolen. Warfield (2006) nevner i sin artikkel at når elevene har en oppfatning av noe, og denne oppfatningen på et tidspunkt viser seg å være feil oppstår det en trang til å utvikle kunnskapen knyttet til fenomenet. I dette ligger det god læringsverdi dersom det utnyttes riktig (Warfield, 2006). Når elevene da har en feil oppfatning av symbolet = er det viktig at dette tas tak i av læreren.  

Figur 5: Missing addend problems

En måte å arbeide med dette på innenfor tidlig algebra er ved å bruke det Carraher & Schliemann (2007) kaller for missing addend problems. Slike typer oppgaver er illustrert i bildet til høyre. Jeg har utviklet et undervisningsopplegg som har til hensikt å gi elevene en mer relasjonell forståelse for likhetstegnet ved bruk av slike typer oppgaver. I tillegg til dette vil jeg at undervisningen oppmuntrer til samtale og refleksjon blant elevene, og at de får tenkt ut og brukt egne strategier for å løse oppgavene.

Undervisningsopplegg

Mitt undervisningsopplegg har som mål å gi elevene en dypere og mer fullstendig forståelse knyttet til likhetstegnet. Grunntanken bak er at det skal bygge på samarbeid, kommunikasjon, refleksjon, kreativitet og problemløsning. Undervisningsopplegget er tiltenkt 5.trinn, men kan med enkle modifikasjoner fungere vel så godt for både yngre og eldre elever. Opplegget har en varighet på 1-2 timer. Oppgavene i eksemplene kan fremstå som enkle da vanlige 5.klassinger behersker slik regneoperasjoner, men det er altså fokus på likhetstegnet som er det viktige. Oppgavene kan endres med utgangspunkt i elevenes kunnskap og ferdigheter.

Elevene deles i grupper på 2-3 personer. Økten starter ved at lærer skriver opp likeverdige verdier på tavlen. Selv om de i eksemplet står der på samme tid er det viktig at lærer bare skriver opp ett og ett eksempel som diskuteres i klassen. Elevene får så i oppgave å se om de finner andre måter å skrive 10 = 10 på. Disse blir også tatt opp i klassen hvor lærerens oppgave blir å komme frem til hva elevene har tenkt rundt sine forslag. Hvilke strategier har de brukt?

Elevene får så utdelt kort av lærer der det står ulike «oppgaver» på hvert kort. Alle gruppene får de samme oppgavene og grunnen til dette er at vi vil finne så mange mulige manipulasjoner av samme tall som mulig. Vanskegraden øker noe ved at man kan implementere nye regnearter enn de som ble gjennomgått på tavlen. Kortene de får utdelt kan se slik ut:

Elevene samarbeider på gruppene om å løse oppgavene og skriver oppgavene samt løsningene i skriveboka si. Etter at disse oppgavene er løst snakker vi om løsningene i plenum slik at alle kan ta del i hverandres tankegang. Eksempler på ulike løsninger på det første kortet kan være at en gruppe tenkte 10 – 7 = 3, at det må være 3 som mangler på venstre side. En annen gruppe kan ha tenkt at 3 er 10er-vennen til 7, altså er det 3 som mangler. Det er disse strategiene vi søker å finne, samt at verdiene kan skrives på ulike måter så lenge totalen er den samme. 

Neste steg blir at elevene får utdelt et tall, og alle gruppene skal arbeide med det samme tallet. For eksempel kan læreren skrive tallet 102 på tavlen. Oppgaven til elevene blir å representere tallet på så mange ulike måter som de klarer. De kan også skrive 102 på en annen måte. Mulige eksempler som kan dukke opp da er:

60 + 40 + 2 = 102

4 x 25 + 2 = 60 + 40 + 2

202/2 + 1 = 10 + 92

Osv…

Her er det viktig at lærer går rundt og veileder gruppene. Oppfordre dem til å tenke litt utenfor boksen, del opp tallene, samt at de forklarer hvordan de tenker. De kan implementere så mange regneoperasjoner de vil så lenge det blir lik verdi på hver side av likhetstegnet. Ideen her er at de skal oppdage at det kan stå nærmeste hva som helst på hver side av likhetstegnet så lenge verdien er den samme på begge sider. 

I denne delen av økten kommer det tydelig til synet at likhetstegnet ikke lenger betyr blir eller er like mye som. Det er viktig at elevene også her får ytre sine strategier og fremgangsmåter for hvordan de har tenkt. Lærerens oppgave blir å stille de riktige spørsmålene slik at elevene klarer å forklare sine svar, spørsmål som:

Hva tenkte du når..
Hvordan kom dere frem til..
Er det mulig å snu om på dette..
Finnes det andre muligheter..
osv..

Er fine å bruke. 

Ved slutten av økten er det viktig at de strategiene og sammenhengene som har kommet frem gjennom økten belyses. Kanskje klarer vi i fellesskap å generalisere noen teoremer, slik som kommutativ og distributiv lov (Carraher & Schliemann, 2007). Denne type undervisning kan også vise sammenhengen mellom regneoperasjonene; multiplikasjon som gjentatt addisjon, subtraksjon som det motsatte av addisjon og multiplikasjon som det motsatte av divisjon, men viktigst av alt; elevene får oppleve at det ikke alltid behøver å komme et "svar" til høyre for likhetstegnet. Dette er viktige sammenhenger i algebra.

Videre progresjon for denne type undervisning er at man har missing addend problems i form av tekstoppgaver, eller at man bytter ut tallene med objekter som man senere kan forkorte til bokstaver. For eksempel:

3 epler + _ epler = 8 epler – dette kan også illustreres ved kort laget på forhånd av læreren. Videre kan man sette inn bokstaver i stedet for ord:

3e + _e = 4e + 4e

Siden elevene nå har fått en bedre forståelse for likhetstegnet kan det hende at de kan gripe fatt på slike oppgaver. 

Kilder:

Bergsten, C., Häggeström, J., & Lindberg, L. (1997). Algebra för alla. Göteborg: NCM, Göteborgs univeristet.

Boaler, J. (2015). The Elephant In The Classroom . London: Clays Ltd, St Ives plc.

Carraher, D. W., & Schliemann, A. D. (2007). Early Algebra and Algebraic Reasoning. I F. K. Lester Jr, Second Handbook of Research on Mathematics Theaching and Learning (ss. 669-705). Information Age Publishing.

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problemsolving and modeling. I F. K. Lester Jr, Second Handbook of Research on Mathematics Theaching and Learning (ss. 763-803). Information Age Publishing.

matematikksenteret. (2017, 10 05). tilpasset opplæring og algebra. Hentet fra http://www.matematikksenteret.no/content/2226/Tilpasset-opplaring-og-algebra

Tøgersen, I. V. (2015). Tolkninger av likhetstegnet. Trondheim: NTNU.

Van de walle, J. A., Bay-Williams, J. M., Karp, K. S., & Lovin, L. H. (2014). Teaching Student-Centered Mathematics (Grades 6-8). Pearson Education Inc. .

Warfield, V. M. (2006, 07). Invitation to didactique. Seattle, Washington, USA: University of Washington.

Bilder/Illustrasjoner:

Figur 1 - Aglebra: https://sites.google.com/site/forjanmathterra/algebra-ii-honors (15.10.2017)

Figur 2 - video algebra: https://www.youtube.com/watch?v=5Q0FlxcEEIw (15.10.2017)

Figur 3 - Instrumentell og relasjonell forståelse: https://www.google.no/search?biw=1280&bih=566&tbm=isch&sa=1&q=instrumentell+og+relasjonell+forst%C3%A5else&oq=instrumentell+og+relasjonell+forst%C3%A5else&gs_l=psy-ab.3..0i24k1.6428.12654.0.13268.41.40.1.0.0.0.186.3881.9j26.35.0....0...1.1.64.psy-ab..5.35.3772...0j0i30k1j0i10i30k1.0.pRhlhOlbAmE#imgrc=a1_5G2ZrEcTk6M: (15.10.2017)

Figur 4 - Likevekt: https://ndla.no/nn/node/90390 (15.10.2017)

Figur 5 - Missing addend problems: http://www.worksheetfun.com/2013/09/12/missing-addend-worksheets/ (15.10.2017)