Problemløsningsoppgave med kombinatorisk kjerne

Mange elever opplever at tradisjonell Norsk skolematematikk ofte bygger på lærebøker, og forbinder faget matematikk med bare lærebøker. Når vi får elevene fra barneskolen til ungdomsskolen, opplever vi matematikk lærerne på skolen, at elevene har vanskeligheter med å godta annen matematikk enn matematikk i lærebøkene. Ved andre aktiviteter spør elevene om dette er matematikk og kan ikke vi få jobbe med matematikk bøker. For å dekke innholdet i LK06 finnes det ikke læreverk som er tilstrekkelig. Problemløsning er derfor blitt sentral del av faget matematikk på skolen, som det også er i LK06 «Å kunne rekne i matematikk inneber å bruke symbolspråk, matematiske omgrep, framgangsmåtar og varierte strategiar til problemløysing og utforsking som tek utgangspunkt både i praktiske, daglegdagse situasjonar og i matematiske problem.» Undervisningsopplegget mitt bygger på problemløsning og kombinatorikk.

Matematisk problemløsning handler ifølge Powell mfl. om å se situasjoner matematisk, og ikke bare følge regler, prosedyrer eller ferdigheter. Det betyr at en tolkning er matematisk hvis beskrivelsen eller forklaringen fokuserer på strukturerte karakteristiske situasjonen. (Powel mfl:2009). Mayer og Wittrock definerer problemløsning og dens psykologiske egenskaper som kognitiv behandling rettet mot å oppnå et mål når ingen løsningsmetode er åpenbar for problemløseren.  

(ibid).

Mange forskere argumenterer for at et viktig mål fot matematikkplanene skal være å gi elevene muligheter til å konstruere problemløsende skjemaer.  Det som er mindre klart er hvordan dette målet skal oppnås. (ibid).

Problemløsning innbefatter ifølge Lesh og Zawojeweski forestillingen om at mennesker lærer matematikk gjennom problemløsning, og at de lærer problemløsning gjennom å skape matematikk, matematisk modellering. (Lesh & Zawojewski 2007).

                                                               Figur: Views of problem-solving: traditional versus modeling.

Det å løse «verdensproblemer» antas å involvere 4 trinn:

1. Mestre de nødvendige ideer og ferdigheter i ikke kontekstuelle situasjoner.

2. Øve på å mestre «verdensproblemer» som er designet for å bruke den lærte fremgangsmåten.

3. Lær det generelle innholdet omkring problemløsningsprosesser og heuristikk.

4. Hvis det er tid – lære å bruke de tidligere ideene, ferdighetene og heuristikken i «rotete» virkelighets situasjoner, hvor ytterligere informasjon kan være nødvendig.

Matematiske ideer og evnen i problemløsning utvikles jevnt i problemløsningsprosessen. Det å løse anvendte problemer innebærer å få en matematisk forståelse av problemet i utvikling av en fornuftig løsning av problemet (Ibid).

Undervisningsopplegg

Undervisningsopplegget er fire delt og er beregnet til undervisningsøkt på 60minutter. Først går lærer gjennom opplegget med elevene, og elevene får vite problemet. Så skal de jobbe individuelt med tilgang til konkretiseringsmateriell, deretter i mindre gruppe på to og to med læringspartner og til sist diskutere resultatet i felleskapet. Problemet elevene får er: «Lisa, per og Eli skal fordele sju is de får hos bestemor. Alle skal ha minst en is. På hvor mange forskjellig måter kan det gjøres på?»

Mål med opplegget er at elevene skal lære å løse problemløsende oppgaver og finne seg måter å systematisere tankene sine på. Opplegget tar for seg Kompetansemålet i Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk "drøfte og løyse enkle kombinatoriske problem" og en av grunnleggende ferdighetene i matematikk  " Å kunne skrive i matematikk inneber å beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Det inneber å bruke matematiske symbol og det formelle matematiske språket til å løyse problem og presentere løysingar." (LK-06). Mål for meg som lærer er å veilede elevene på en slik måte at elevene mine til slutt kjenner at løsningen var hennes/hans egen.

Selv om matematikkens språk er basert på regler som må læres, er det viktig for motivasjon at elevene beveger seg utover regler for å kunne uttrykke ting i matematikkens språk. Elevene må fokusere på å finne løsning på en annen måte enn tradisjonelle matematikk oppgaver i bøkene.

Ø  De må søke løsninger, det er ikke tilstrekkelig med opplærte prosedyrer.

Ø  Utforske mønstre, ikke bare bruke formler de husker.

Ø  Formulere hypotese, ikke bare å gjøre øvelser. 

Når elevene lærer å fokusere og reflektere disse faktorene, vi de få mulighet til å oppleve matematikk som en utforskende, dynamisk, utviklende, kreativt og ikke bare regler som skal pugges og huskes. (Lesh & Zawojewski 2007).  Problemløsendeoppgaver kan være inngangsport til å skape slik holdning til matematikk. Lærer rolle er å støtte opp elevene hvis de ikke kommer noen vei, samt spørre fokuserende spørsmål som veiledning til elevene. Fokuserende spørsmål tar grunnlag i elevens matematikk kunnskap, og bygger videre på elvens ideer. Slike spørsmål bygger på hvorfor, hva eller hva hvis, når, hvor slik at elevene må tenke seg gjennom og ikke kan svare spontant (Stillman mfl.: 2009).

Filmen viser en 8.klasse elev som velger å løse oppgaven med å bruke fyrstikker som ispinner, eleven noterer med streker antall mulig fordeling og teller til slutt strekkene. Filmen er fra individuelle delen av opplegget.

En annen 8.klasse eleven lager tabell som hjelper til å systematisere tankene sine. Også denne eleven kommer frem til at det finnes 12 forskjellig måter å fordele is på, altså fire ulike talltripler og systemet er tre av i hver. I oppgaven er  informasjon som ikke er nødvendig, elevene må lære å sile det ut som ikke har betydning for løsning. For lærer er det redskap å bruke Lesh og Zawojewskis fire trinn for å løse "real life" problemer for å lære elevene til å mestre og systematisere ideene sine. 

Disse elevene ser ikke at det er en fordeling som skiller seg ut, det er når det er tre helt forskjellig tall fire, to og en. Den har seks kombinasjoner og ikke bare tre som de gangene det bare er to forskjellig tall. Under diskusjon med læringsparter ble elevene enige om at det finnes 12 måter å fordele is på. Diskusjons med læringsparter gjør at elevene får øve å snakke matematikk og blir trygge på presentere sine meninger i klassen. Under samtalen når klassen diskuterte resultatet i felleskap og lagde vi tabell på tavlen. Jeg spurte spørsmål for å få elevene oppdage sin misoppfatning, når jeg spurte elevene om det er forskjell på hvem som får 4, 2 eller 1 is? Oppdaget en elev at det fins flere enn 12 måter å fordele isene på, fordi det ville vært urettferdig hvis ikke alle kan ha mulighet til å få fire is. Eleven forklarte sin oppdagelse, elevene gikk tilbake til to og to grupper og diskuterte om det er sant at det finnes flere enn 12 muligheter. Læreren gikk fra gruppe til gruppe for å hjelpe elevene med å oppdage selv ved å spørre fokuserende spørsmål. Klassen ble samlet igjen og da var alle gruppene kommet frem til at det finnes 15 måter å fordele isene på. Etter undervisningsopplegget ble elevene spurt hva de syns om måten å jobbe på? Elevene tolket det ikke som tradisjonell matematikk, men når de tenkte seg tilbake skjønte de at det kanskje var. Og at de lærte matematikk i oppgaven, selv om det kanskje ikke føltes slik for alle under prosessen. Elevene så viktigheten av å tenke systematisk, så man ikke «glemmer/ hopper over» noen mulige fordeling.

Jeg prøvde samme opplegg med 10.klassen som jeg vet at jobbet mye med problemløsning og kombinatorikk. 

De fleste elevene i 10. klasse klarte å finne seg strategi å jobbe etter. Denne eleven begynner med å lage seg mønster og system fra starten av, og får ta bedre oversikt over problemet og ser sammenhengen. Eleven velger å lage tabell med farger, som gjør at hun/han får ryddig måte å få oversikt på tankene sine. Under samtalen kommer det frem at eleven bruker opparbeidet strategi fra tidligere erfaring, og er klar over at det kan brukes til lignende situasjoner. For å utvikle oppgaven, spurte læreren hva om det hadde vært 4 barn som skulle ha fordelt isene. Eleven fortalte muntlig hvordan hun/han utvikler systemet med fordelingen og at det da ville ha vært 20 muligheter. En oppgave kan være et problem for en elev, men ikke for en annen. Det er tydelig at eleven har utarbeidet seg skjema, en måte å løse slike utfordringer på, som eleven kan bruke andre lignende sammenheng. Hence Anderson hevder at dette beviser at elevenes kunnskap i bruk av skjemaer hjelper dem med å overføre skjemaer til lignende problemløsning (Powel mfl:2009). Is-oppgave som også er kjent som drops-oppgave, har som mange andre problemløsningsoppgaver en kombinatorisk kjerne og er åpen for elevene til å velge strategi ut i fra sin egen kreativitet.  

I problemløsningssammenheng har vi på skolen brukt Lesh og Zawojewskis  og Polya-strategi til problemløsning. Polya har vært sentral i forskning av matematisk problemløsning. Polya deler problemløsningsprosessen inn i fire faser, og til hver fase introduserer han bestemte strategiske fokuserte spørsmål som kan hjelpe problemløseren på vei mot løsningen (Polya: 2004).  Fase 4 vil være særlig viktig i arbeid med de 8.klasse elevene som ikke har løst oppgaven riktig. Det må gis mulighet til elevene å oppdage selv sine feil og rette på feilene, gå tilbake til tidligere faser. Lesh og Zawojewski bruker lære som redskap, mens Polya kan brukes direkte med elevene og henges på klasserom som hjelp til å huske hvordan man kan jobbe med problemløsning.

Schoenfeld er også sentral innen forskning av matematisk problemløsning.  Scohoenfeld deler problemløsningsprosessen inn i flere faser enn Polya, og har mer fokus på analyse problemet og implementere. Schoenfelds problemløsningsprosess virker å være interessant, og vil kanskje fungerer bedre for noen elever. Jeg er åpen for å prøve hans problemløsningsprosess i undervisning. Fordi hans mål med problemløsning er å lære teknikker og utvikle regneferdigheter for å utvikle kreativ og kritisk tenkning i matematikk. Hans forskning viser at erfarne matematikere bruker mye tid på å analysering og strukturere problemet, mens elevene ofte leser og tar raske beslutning om valg av strategi. Elevene har ofte kunnskap de trenger, men klarer ikke å overføre det til løsning av problemet. Dette fordi de ikke kan reflektere over valg av strategi de skal bruke i begynnelsen, som gjør at de ikke finner en løsning til oppgaven. (Schoenfeld, A. H.:1992). De to 8. Klasse elever som ikke klarte å løse problemet, tok i begynnelsen rask beslutning om hvordan de skal løse oppgaven. Selv om begge elever scorer høyt på kartlegging, klarer de ikke å overføre kunnskapen til problemløsning når de ikke er reflektert over valg av strategi. Elevene trenger mulighet å strukturere problemet i oppgaven for å oppdage alle mulige måter å dele isene på, samtidig som de utvikler kritisk tenking og kreativitet.

Kilder

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. Second handbook of research on mathematics teaching and learning, 2, 763-804.

Polya, G. (2004). How to Solve It. A new aspect of matehematical methoel.

Powell, A. B., Borge, I. C., Fioriti, G. I., Kondratieva, M., Koublanova, E., & Sukthankar, N. (2009). Challenging tasks and mathematics learning. In Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom (pp. 133-170). Springer US.

Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. Handbook of research on mathematics teaching and learning, 334-370.

Stillman, G., Cheung, K. C., Mason, R., Sheffield, L., Sriraman, B., & Ueno, K. (2009). Challenging mathematics: Classroom practices. In Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom (pp. 243-283). Springer US.

Utdanningsdirektoratet (2013): Læreplanverket.

Hentet på: https://www.udir.no/kl06/MAT1-04 (11.10.17)