La elevene utforske og forstå matematikken!

Kandidatnummer 23

La elevene utforske og forstå matematikken!  
Mange elever opplever matematikkfaget som et ”huskefag” (Herheim 2016). Regler, prosedyrer, algoritmer og detaljer demonstreres av læreren, og deretter øves, drilles og terpes på. Målet med huskereglene er å få raske og rette svar, og ikke hvorfor prosessen frem til løsningen er som den er. Forskning indikerer at matematikk lært som et sett av isolerte prosedyrer, som skal huskes og kunnes utenat, fører til en begrenset matematisk forståelse der elevene ofte er låst til regler (Schoenfeld, 2014). Probelemløsningsbasert matematikk lar elevene utforske matematikken og utvikle en dypere matematisk forståelse og kompetanse. De er ikke er bundet til matematikkens regler, prosedyrer og algoritmer. Videre går blogginnlegget dypere inn på hva problemløsningsbasert matematikk er, og presenterer et undervisningsopplegg basert på problemløsningsbasert matematikk.

Ifølge den norske læreplanen i matematikk (Utdanningsdirektoratet, 2013) skal elevene bruke problemløsning for å analysere, omforme, løse og vurdere løsningen til et matematisk problem. Opplæringen skal tilrettelegge for utforskende, kreative og problemløsende aktiviteter (Utdanningsdirektoratet, 2013). Basert på læreplanen skal elever i den norske skolen arbeide kontinuerlig med problemløsningsbasert matematikk. Det er kanskje ikke så merkelig, da problemløsningsbasert matematikk skal føre til nysgjerrighet, engasjement, kreativitet, motivasjon og utvikling av matematisk forståelse og kompetanse hos elevene (Artique & Blomhøj, 2013, Koicho, 2014).

Problemløsningsbasert matematikk  

Det er vanskelig å gi en definisjon på hva problemløsningsbasert matematikk er, siden det ikke eksisterer en konkret, unik eller universal definisjon. Problemløsningsbasert matematikk er non-routine problems der elevene må utforske, resonnere, argumentere, bevise, forklare og evaluere i løsningsprosessen (Artique & Blomhøj, 2013:802). En annen definisjon beskriver problemløsning som en kognitiv prosess rettet mot et mål, der verken løsningen eller løsningsprosessen for et problem er åpenbar for problemløseren (Powell et. al. 2009). I forhold til denne definisjonen er problemløsning kognitiv og personlig. Det kognitive aspektet tilsier at problemløsningen skjer i problemløserens kognitive system, og den individuelle kompetansen avgjør hvilke løsningsprosesser problemløseren bruker under problemløsningen.

Problembasert matematikk kan relateres til inquiry based learning (Artique & Blomhøj, 2013:798), noe som kan oversettes med utforskende matematikk. Innenfor inquiry based learning arbeider elevene på samme måte som matematikere eller forskere, der utgangspunktet for læring er en vitenskapelig arbeidsform. Elevene kommer gjennom utforskning frem til løsninger på matematiske problemer. Denne læringsformen avviser tradisjonell pedagogisk praksis som fokuserer på instruksjon og drilling av matematiske regler og prosedyrer. Teorien mener derimot ikke at repetering og mengdetrening skal utelukkes, men dette må komme etter introduksjon av et matematisk konsept gjennomført på en utforskende måte. Videoen nedenfor utdyper inquiry based learning (https://www.youtube.com/watch?v=u84ZsS6niPc): 

Gjennom arbeid med problemløsningsbasert matematikk erverver elevene kompetanse om matematiske ideer, konsepter og begreper, samt relasjonene mellom dem (Artique & Blomhøj, 2013). Problembasert matematikk kan fremme elevenes konseptuell forståelse (Koichu, 2014), en komponent i matematisk kompetanse. Matematisk kompetanse består av fem komponenter eller tråder, hvor hver representerer ulike aspekter av en kompleks helhet; conceptual understanding, procedural fluency, strategic competance, adaptive reasoning og produktive disposition (Kilpatrick et. al. 2001). Oversatt til norsk; forståelse, prosedyrekompetanse, anvendelse, resonnering og engasjement. På grunn av blogginnleggets lengde, vektlegges her konseptuell forståelse og prosedyrekompetanse. 

Bilde 1: Viser komponentene i matematisk
                     kompetanse (Kilpatrick, et al. 2001:5) 

Konseptuell forståelse er en forståelse av matematiske konsepter, begreper, operasjoner og relasjoner, som kan settes sammen til et stort og komplekst nettverk (Kieran 2013). Elevene har organisert sin matematiske kunnskap til en sammenhengende helhet, har en fleksibel forståelse, kan anvende matematikken i flere sammenhenger og kobler ny kunnskap på tidligere kunnskaper. Både Kilpatrick et. al. (2001) og Kieran (2013) poengterer at konseptuell forståelse og prosedyrekompetanse henger sammen. Prosedyrekompetanse handler om å utføre prosedyrer fleksibelt, nøyaktig, effektiv og hensiktsmessig, samt kunnskap om hvordan og når en prosedyre skal brukes. Problemløsningsoppgaver kan føre til at elever utvikler konseptuell forståelse og prosedyrekompetanse. For eksempel kan et problem tilrettelegge for at elevene, med veiledning fra læreren, utvikler matematiske prosedyrer eller får forståelse av et matematisk konsept. Altså får ikke elevene servert prosedyren av læreren, men må gjennom problemet oppdage og utvikle prosedyren selv. I tillegg må elever ha forståelse av en prosedyre for å vite hvorfor akkurat en spesifikk eller flere prosedyrer kan brukes i det aktuelle problemet, og kunne se en prosedyre opp mot matematiske konsepter og begreper. 

TRU-math
Problembasert matematikk er godt forenelig med undervisningsteorien eller rammeverket TRU-math. TRU-math består fem overlappende dimensjoner som karakteriserer en god matematikkundervisning, der elevene utvikler seg til å kunnskapsrike, fleksible og ressurssterke tenkere (Schoenfeld, 2014). I forhold til rammeverket er det blant annet sentralt at læringsaktivitetene har et matematisk innhold hvor det er sammenheng mellom prosedyrer, konsepter og kontekst. Det kan medføre at elevene utvikler matematisk forståelse og opplever matematikken meningsfull. Alle elevene bør involveres i undervisningen, og få mulighet til å delta i matematiske diskusjoner, lære og lage forbindelser mellom matematiske ideer, teknikker og perspektiver og utvikle et eierskap til det matematiske innholdet. I tillegg er det viktig at elevene opplever utfordring i undervisningen, kalt ”productiv struggle”, der eleven bygger på tidligere kunnskaper og øker sitt kunnskapsnivå. Læreren må gi elevene kognitiv krevende oppgaver/aktiviteter, og arbeide for å opprettholde passende nivåer av kognitiv etterspørsel. Det er også viktig at læreren er positiv og støtter elevenes matematiske ideer, bygger undervisningen opp på elevene matematiske ideer og kunnskapsnivåer, og lager oppgaver eller problemer som støtter forventingen om at alle elevene kan og forventes å delta. Problemene bør ha ulike løsningsprosesser som kan knyttes opp mot hverandre, så matematiske forbindelser kan skapes (Schoenfeld, 2014). De ulike elementene innenfor TRU-math kan dekkes ved bruk av problemløsningsbasert matematikk. 

Undervisningsopplegget

Undervisningsopplegget er basert på problembasert matematikk, er beregnet for ungdomstrinnet, kanskje best egnet til 8. trinn, og vil vare i ca. 90 minutter. For at undervisningsopplegget skal kunne gi et godt læringsutbytte bør noen forutsetninger oppfylles. Den ene forutsetningen er et viktig prinsipp innenfor problemløsningsbasert matematikk, nemlig at elevene ikke kjenner til løsningsprosessen til det matematiske problemet. En annen forutsetning er at læringsmiljøet, eller de sosiomatematiske normene, tillater aktiviteten problemløsning (Yackel & Cobb, 1996). I tillegg bør de sosiomatematiske normene tilsi at alle elever kan delta og engasjere seg i matematiske diskusjoner, der matematiske ideer og løsningsprosesser deles og diskuteres, noe som er sentralt innenfor TRU-math (Schoenfeld, 2014). Det er også viktig at læreren kjenner elevenes matematiske forutsetninger, slik at alle opplever utfordring i undervisningen, ”productiv struggle”, og at læreren tilrettelegger for matematiske diskusjoner i grupper og plenum, samt støtter elevenes matematiske ideer og løsningsprosesser. Læreren skal veilede elevene under problemløsningsbasert matematikk, men det viktig at veiledningen ikke tar vekk for mye av problemets utfordring (Koichu 2014). Da vil eleven ikke oppleve "productive struggle”.  Læringsmålet for undervisningsopplegget er hentet fra et kompetansemål under ”Tal og algebra” etter 10. trinn:

”Bruke tal og variablar i utforskning, eksperimentering og  praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design” (Utdanningsdirektoratet 2013:8).  

Læringsmål: Utforske mønster, og komme frem til mønstrets tallfølge og et generelt uttrykk/formell som kan brukes for å finne en ukjent figur i mønstret. 

Mønster kan brukes som inngangsport for algebra, og algebra kan brukes for å beskrive et mønster (Carraher & Schliemann, 2007). Algebra er aritmetikk med variabler, noe som blant annet inkluderer å representere eller ”modellere” konkrete situasjoner med uttrykk og sette opp likninger (Carraher & Schliemann 2007). Målet med undervisningsopplegget er at elevene gjennom utforskning av to ulike mønstre skal komme frem til det generelle uttrykket for to tallfølger, partall og oddetall. Det er derfor ikke gunstig å skrive ”partall” og ”oddetall” i læringsmålet. Elevene skal oppdage at det ene mønstret viser tallfølgen partall, mens det andre tallfølgen oddetall. Fordel elevene på grupper med 2-3 elever i hver gruppe. Elevene får først presentert mønstret under, og skal finne ut hvor mange klosser figur 4 og figur 6 består av. 

Bilde 2: De tre første figurene i et mønster
  som viser tallfølgen partall.

La elevene arbeide individuelt i noen minutter, slik at de selv får mulighet til å finne hvordan figur 4 og 6 ser ut, og hvor mange klosser de består av. Deretter kan elevene forklare i sine grupper hvilken løsningsprosess de valgte og hvorfor. Be elevene om å finne tallfølgen til mønstret, og deretter en formel eller et generelt uttrykk som kan brukes for å finne en ukjent figur i mønstret. Gjør tilsvarende med mønstret som er presentert under:

Bilde 3: De tre første figurene i et mønster som 
                 viser oddetallene, når første oddetall er 3.

Kommentar til mønsteret som viser oddetallene: Det første oddetallet i rekken av oddetall er 1. Grunnen til at mønsteret begynner med oddetallet 3, er at elevene enklere skal kunne komme frem til det generelle uttrykket til oddetallene, 2n+1. Hadde figur 1 i mønstret bestått av en klosse, figur 2 av tre klosser og så videre, ville elevene mest sannsynlig kommet frem til det generelle uttrykket 2n-1. Både 2n-1 og 2n+1 er måter å skrive et oddetall på i algebra, men det er kanskje lettere for elevene å forstå uttrykket 2n+1.

Elevene samarbeider i grupper for å skape diskusjon, resonnering, analysering og vurdering av problemets løsningsprosess, noe som, tidligere nevnt i blogginnlegget, er sentralt innenfor problembasert matematikk. I tillegg får enkelteleven mulighet til å forklare og argumentere for sin løsningsproesess. Elever har forskjellige løsningsprosesser av et matematisk problem på grunn av ulike problemløsningsskjemaer. En god problemløser har og bruker problemløsningsskjemaer, ”a package of information about the properties of a particular type” (Powell et. al. 2009: 135; Hayes 1989:11). Problemløsningsekspertise krever dermed spesifikke problemløsningsskjemaer innenfor i ulike matematiske områder. Alle lærere ønsker å utvikle gode problemløsere, og må derfor tilrettelegge for at elevene selv utvikler egne problemløsningsskjemaer (Lesh & Zawojewski 2007). Det er med andre ord ikke meningen at lærerne skal gi elevene skjemaer som stegvis forteller hvordan en problemløser kan gå frem ved problemløsningsoppgaver. Utvikling av problemløsningsskjemaer kan derfor knyttes opp til metakognitive – individets egen kunnskap om kognitive prosesser (Lesh & Zawojewski 2007). Sett i forhold til matematikk har individet kunnskap og innsikt i egne tankeprosesser, kontroll over egen kompetanse og vet sine styrker og svakheter i matematikk og problemløsning. Det tar tid å utvikle gode problemløsningsskjemaer, og ved kontinuerlig bruk av problembasert matematikk i undervisningen, kan elevene over tid utvikle gode problemløsningsskjemaer og bli gode problemløsere. Elever kan på bakgrunn av medelevenes løsningsprosesser utvikle sine egne problemløsningsskjemaer. Ved å dele løsningsprosessene med hverandre blir elevene tvunget til å forklare, argumentere og diskutere. Det medfører at elevene lærer og lager forbindelser mellom matematiske konsepter, ideer og teknikker/prosedyrer, noe som er relevant innenfor både problemløsningsbasert matematikk og TRU-math. Når klassen gjennomgår de ulike delene av problemløsningsoppgaven i plenum, har elevene igjen mulighet til å utvikle deres problemløsningsskjemaer og matematiske kompetanse, fordi andre løsningsprosesser presenteres og diskuteres. Det er dog viktig at alle elevene deltar og er engasjerte i gruppearbeidet og i plenumet. Om noen elever blir utelatt, blir de fratatt muligheten til å lære (Schoenfeld, 2014).    

Sett i forhold til undervisningsopplegget har elevene antageligvis kjennskap til mønster, partall og oddetall fra før. Kanskje vil noen elever intuitivt se at mønstrene konkretiserer de første partallene og oddetallene? For å finne hvor mange klosser figur 4 og 6 i de to mønstrene består av, er det vanlig at elevene finner endringen mellom to figurer etter hverandre i et mønster (Carraher & Schliemann, 2007). Elevene vil sannsynligvis se at antall klosser i begge mønstrene øker med to for hver figur i mønsterrekkene. For å differensiere opplegget, kan en for eksempel spørre hvor mange klosser for eksempel figur 21 i de to mønstrene består av, eller hva figur 0 hadde vært i mønstret som viser oddetallene.

Bilde 4: Illustrerer at mønstret øker med to for hver
             figur i mønsterrekken til tallfølgen partall.

Elevgruppene skal deretter finne tallfølgen. Noen elever eller grupper vil sannsynligvis se at tallfølgene henholdsvis viser partallene og oddetallene. Basert på mønstret og tallfølgen skal elevene komme frem til en formell eller et generelt uttrykk som kan brukes for å finne en n-te (en hvilken som helst figur) innenfor det aktuelle mønstret. Mønsteroppdagelsesproblemer gir elevene muligheter til å lage forslag til hvilken formel eller uttrykk skaperen av mønsterrekken kunne ha brukt for å generere hver figur i rekken (Carraher & Schliemann, 2007). Det kan være forskjellige uttrykk som kan generere den samme mønsterrekken. Om dette er tilfellet står elevene ovenfor et viktig spørsmål. Hvis to uttrykk genererer den samme endelige mønsterrekken, er de to likeverdige, eller er de forskjellige uttrykk som tilfeldigvis gir de samme resultatene for et begrenset antall tilfeller? Elevene kan i undervisningsopplegget komme frem til ulike uttrykk for hvert mønster. Uttrykkene kan diskuteres, analyseres og sammenlignes opp mot hverandre i elevgruppene og i plenum. 

Elever på ungdomstrinnet har vanskeligheter med å forstå bruken av bokstaver som generaliserte tall eller variabler (Carraher & Schliemann, 2007). Når elevene skal lage et generelt uttrykk, en symbolsk representasjon, for mønstrene, er bruk av variabler sentralt. Mønsteraktiviteter kan enkelt utføres uten at elevene eksplisitt gir oppmerksomhet til den uavhengige variabelen (Carraher & Schliemann, 2007), men kan også gi elevene et behov for å lære om avhengige og uavhengige variabler. Problemløsningsoppgaver kan føre til en meningsfull og hensiktsmessig introduksjon av matematiske konsepter, prosedyrer eller ideer (Koicho, 2014). Basert på problemet kan elevene føle et behov for visse konsepter, noe som kan innføres. Siden det er elevene selv som har følt behovet for det matematiske konseptet, utvikler de et eierskap til konseptet og en dyp konseptuell forståelse. Undervisningsopplegget kan vektlegge hva en variabel er, og introdusere forskjellen mellom avhengig og uavhengig variabel. Sett i forhold til de generelle uttrykkene er det sentralt at elevene kan skille mellom hva som er endringen, og hva som er summen av antall klosser til en figur i mønsterrekken (Carraher & Schliemann, 2007). Summen av antall klosser til en figur i mønsterrekken er en avhengig variabel, bestemt av figurnummeret, den uavhengige variabelen. 

Bilde 5: Grafen til uttrykket 2n. 

Algebra er nært tilknyttet funksjoner (Carraher & Schliemann, 2007), og en kan dermed utvikle tabeller og grafer som viser mønstret og de generelle uttrykkene. Uttrykkene som elevene kommer frem til kan sammenlignes ved å sammenligne grafene og tabellene til uttrykkene.

Bilde 6: Tabell som viser forholdet mellom figurnummer og
      antall klosser figuren består av i mønstret som tallfølgen partall. 

I undervisningsopplegget er elevene innom mønster, formel/uttrykk, tabell, graf og tallfølger. Problemløsningsbasert matematikk, TRU-math og undervisningsopplegget legger vekt på elevene skal kunne lage forbindelser, relasjoner eller koblinger mellom ulike matematiske områder eller konsepter. Egenskapene til tallfølgene oddetall og partall er viktig i undervisningsopplegget. Mønstret konkretiserer de første oddetallene og partallene, uttrykkene viser hvordan en generelt kan skrive et oddetall og et partall og grafen kan illustrere uttrykkene elevene kommer frem til. En kan diskutere egenskapene til partall og oddetall i fellesskapet. For eksempel: Hvorfor blir partall delt på 2 et heltall, mens et oddetall delt på 2 ikke et heltall? Hvordan kan en se om et heltall er et partall eller et oddetall?

Avsluttende kommentar 
Forskning viser at problemløsningsbasert matematikk øker og gjør elevenes matematiske kompetanse mer kompleks. I tillegg dekker problemløsningsbasert matematikk prinsippene TRU-math mener undervisningen må vektlegge for at elevene skal oppnå god læring, og bli kunnskapsrike i matematikk. Selv om problemløsningsbasert matematikk høres positivt ut, tar det tid å implementere problemløsning som læringsaktivitet i klasserommet. Læreren må være trygg på arbeidsformen og elevene må bli vant med å være aktive i læringsprosessen. Elevene utforsker matematikken og har mulighet til å gå i dybden av matematiske konsepter, der læreren har en passiv rolle i undervisningen. Det er læreren som skal designe eller endre problemløsningsoppgaver der innholdet fremmer engasjement og læring hos alle elevene, samt inkludere alle elevene i undervisningen (Schoenfeld 2014, Sullivan, Knott & Yang 2015). Selv om problemløsningsbasert matematikk er tidkrevende, mener jeg fordelene veier opp. Problemløsningsbasert matematikk lar elevene utforske og forstå matematikken! 

Referanseliste 

Artigue, M. Blomhøj M. (2013): Conceptualizing inquiry-b in mathematics, i ZDM - The international Journal on Mathematics Education. Volum 45

Herheim, R. (2016). Matematikk som magi – hugsreglar og konsekvensar. I T. E. Rangnes & H. Alrø (Red.), Matematikklæring for framtida: Festskrift til Marit Johnsen-Høines (s. 129–146). Bergen: Caspar Forlag.

Kieran, C. (2013). The false dichotomy in mathematics education between conceptual understanding and procedural skills: an example from Algebra. In Vital directions for mathematics education research (pp. 153-171). Springer New York.

Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B., (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics, 4 The Strands of Mathematical Proficiency. Washington DC: National Academy Press.

Koichu, B. (2014). Reflections on Problem-Solving. In Mathematics & Mathematics Education: Searching for Common Ground (pp. 113-135). Springer Netherlands.

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. Second handbook of research on mathematics teaching and learning, 2, 763-804.

Powell, A. B., Borge, I. C., Fioriti, G. I., Kondratieva, M., Koublanova, E., & Sukthankar, N. (2009). Challenging tasks and mathematics learning. In Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom (pp. 133-170). Springer US.

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E., & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. (2014).  An introduction to the TRU Math document suite. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University.    

Sullivan, P., Knott, L., & Yang, Y. (2015). The Relationships Between Task Design, Anticipated Pedagogies, and Student Learning. In Task Design In Mathematics Education (pp. 83-114). Springer International Publishing.
Utdanningsdirektoratet, 2013: Læreplan i matematikk fellesfag. http://data.udir.no/kl06/MAT1-04.pdf  (Hentet 03.10.17)

Yackel, E. and P. Cobb (1996). "Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics." Journal for Research in Mathematics Education 27: 458-477.

Videoen er hentet fra Youtube:
Crombie, S. 2014: What is Inquiry-Based Learning? https://www.youtube.com/watch?v=u84ZsS6niPc (Hentet 13.10.17)

Bilde 1: Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B., (2001:5). Adding it up: Helping children learn mathematics, 4 The Strands of Mathematical Proficiency. Washington DC: National Academy Press.

Alle bildene/illustrasjoner etter "Bilde 1" er laget selv.