Problemløsning er gøy ☺
Mange
kan forbinde matematikk med noe kjedelig, mens andre synes det er et
interessant og givende fag. Det er selvfølgelig mange ulike årsaker for at
elever synes matematikk er kjedelig, men er det noen matematikklærere som
stiller spørsmål til hvorfor elevene synes det er kjedelig? Noen elever får
ikke nok utfordring, og dermed blir det kjedelig – og det er forståelig! Andre
kan synes det er kjedelig fordi læreren underviser, eller viser, hvordan ”oppskrift”
elevene skal bruke for å løse de hundre oppgavene i boken – igjen, det er
kjedelig. I det læreren viser prosessen for å komme frem til svaret, forsvinner
nysgjerrigheten til elevene. De får ikke testet selv, de får ikke utforske,
plages og mestre oppgaven på egenhånd.
Algebra
er vel kanskje ett av temaene som mange elever sliter med. Ofte er det slik at
elevene pugger regler, følger lærernes instruksjoner og deretter gjør akkurat
det samme i sin egen skrivebok. Ved problemløsning skal elevene utforske,
analysere problemer og finne løsningsstrategier. Dette kan være veldig
spennende og gjøre at elevene engasjerer seg, for det blir en helt annen måte å
lære på enn den tradisjonelle tavleundervisningen. Dermed skal denne teksten
handle om nettopp problemløsning og algebra. Formålet med denne teksten er å gi
et innblikk i hva problemløsning og algebra er, og hvordan et
undervisningsopplegg, med begge temaene, kan utformes.
Problemløsning
Hva
er problemløsning og hva er egentlig et problem? De aller fleste har en
forståelse av hva ordet problem betyr,
men hva betyr et matematisk problem? Van de Walle, Bay-Williams, Lovin og Karp
(2014, s.15) definerer problem som ”en hvilken som helst oppgave eller
aktivitet som elevene ikke har noen memorerte regler eller metoder for, og som
de ikke har noen oppfatning om at det finnes en bestemt ”riktig” løsning”. En
annen definisjon, som jeg synes forklarer begrepet kort og presist, er Websters
definisjon (I Schoenfeld,1992, s.10): "A question... that is
perplexing or difficult ". Ut fra disse to definisjonene av begrepet
problem, forstår vi at det handler om oppgaver hvor man ikke øyeblikkelig ser
løsningen eller løsningsprosessen. Problemløsning vil da være handlingen eller
prosessen frem til løsningen på problemet.
Matematikeren George Polya (2013,
s.4) beskriver problemløsning som en praktisk ferdighet (skill), å sammenligner
det med å svømme. Videre forklarer han at gjennom imitasjon og praksis skaffer vi
oss praktiske ferdigheter. For å løse problemet må man observere og etterligne
hva folk gjør når de løser problemer, og etter hvert vil man selv klare å løse
problemer. Slik jeg forstår Polyas beskrivelse av problemløsning, er for det
første at oppgaven må være et problem for problemløseren – han kjenner ikke til
løsningen eller løsningsstrategien. For det andre må problemløseren ønske å
kunne løse problemet, i og med at problemløseren observerer andre, bruker til
på å etterligne for å deretter klare å løse problemet på egenhånd. Og for det
tredje, at det handler om å finne en metode.
Lesh
og Zawojewski (u.å, side 782) forklarer at matematisk problemløsning handler om
å se, tolke, beskrive og forklare situasjoner matematisk, og ikke bare utføre
regler eller prosedyrer. Selv om Polya ikke direkte bruker matematisk problemløsning, kan Lesh og Zawojewskis forklaring
kobles mot Polyas. Polya nevner at man må observere og etterligne andre, som
kan sammenlignes med Lesh og Zawojewskis ”se, tolke og beskrive”. Gjennom
observasjon av andre får man forståelse av hva som gjøres og hvorfor, og da kan
problemløseren beskrive og forklare situasjonen. Slik at det ikke blir som Lesh
og Zawojewski forklarer, at problemløsning ikke bare er å utføre prosedyrer –
som jeg tolker som kjente prosedyrer. Noe som Schoenfeld (1992, s.14) trekker
frem i sin definisjon, at problemløsning ikke bare skal fullføres ved hjelp av
kjente prosedyrer.
Hvorfor problemløsning
Schoenfeld
(1992, s.19) hevder at elevenes mathematical
point of view påvirkes av det miljøet de befinner seg i. Slik jeg tolker
Schoenfeld, kan elevene i undervisning hvor samarbeid og diskusjon om
løsningsstrategier og tenkemåte, utvikle sine egne synspunkter. Dette kan sees
i sammenheng med Chapin, O´Connor og Anderson (2009, s. 89) som hevder at å
snakke om problemløsningsstrategier kan avsløre tidligere hull og
misforståelser som kan være til hinder for fremtidig læring (KILDE). I
undervisning hvor det samtales om ulike strategier, kan altså elevene utvikle seg
og samtidig kan unngå misforståelser.
Van
de Walle m.fl (2014, s.15) har listet
opp mange mål som de mener elevene oppnår gjennom å jobbe med problemløsning:
·
Focuses students
attention in ideas and sense making
·
Emphasizes
mathematical processes and practices
·
Develops
students confidence and identities
·
Provides a
context to help students build meaning for the cocept
·
Allows entry and
exit points for a wide range of students
·
Allows for
extensions and elaborations
·
Engages students
so that there are fewer disipline problems
·
Provides
formative assessment data
·
Is a lot of fun!
Det
som kommer frem i denne listen, er at elevene får troen på seg selv i
matematikk. De opplever mestring ved å løse problemer, samtidig som de ser at
matematikk har en mening. Elevene får erfare at det finnes flere strategier for
å løse problemet, at det ikke kun er én riktig strategi. Dette erfarer de ved å
reflektere sammen med andre medelever. Elevene får mulighet til å være
kreative, og dette gjør matematikken til noe gøy, selv om de blir utfordret.
Samtidig lærer de å argumentere for valg og hvorfor akkurat denne strategien
kommer frem til løsningen. Og sist men ikke minst, elevene utvikler en dypere
forståelse i matematikk.
Problemløsningsprosess
Polya
(2013, s.5-6) utformet en problemløsningsprosess med fire trinn (min
oversettelse):
1. Forstå problemet
2. Lage en plan
3. Utføre planen
4. Se tilbake
Problemløseren
må forstå hva problemet er, deretter lage en plan, så gjennomføre den og
tilslutt har problemløseren mulighet til å ”se tilbake”. Innenfor hvert av de
fire trinne presenterer Polya strategiske spørsmål som kan være til hjelp for å
løse problemet. Slik som hva er den ukjente? Er det et kjent problem, har jeg
vært borti lignende? Kan man løse problemet på en annen måte? Polya (2013)
nevner at den intelligente problemløseren stiller seg selv spørsmål, som er lik
de han har listet opp. Dermed kan denne problemløsningsprosessen være en god
veileder for problemløseren. Schoenfeld (1992, s.14) nevner at man skal være
forsiktig med å gi elevene for mye undervisning i strategibruk, for da kan da
kan det bli oppfattet som et mål og middel. Derfor tenker jeg at Polyas
problemløsningsprosess kan være et godt verktøy for lærere også. Når
matematikklærere skal hjelpe elever som står fast med problemløsningsoppgaven,
kan læreren bruke Polyas spørsmål til å hjelpe elevene. Istedenfor at læreren
gir alt for mye veiledning, kan spørsmålene være til god hjelp for å få elevene
i riktig retning.
Algebra
Algebra
har vel de aller fleste et kjennskap til, noen har positive assosiasjoner mens
andre har negative. Legger ved denne videosnutten som forklarer algebra på en
ryddig og forståelig måte.
Undervisningsopplegg
Temaet i dette undervisningsopplegget er
problemløsning og algebra. Målet for økta er at elevene skal utforske og være
kreative. De skal finne sine egne strategier for å løse problemet. Samtidig
håper jeg at dette skaper engasjement hos elevene. Undervisningen kan knyttes
opp mot kompetansemålet etter 7. årstrinn ” finne informasjon i tekstar
eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og
framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga”.
Oppgave: I kroppsøvingstimen tar Petter,
Janne, Gunn og Knut 162 armhevinger til sammen. Petter tar 5 ganger så mange armhevinger
som Janne. Knut tar 35 flere armhevinger enn Petter. Gunn tar 12 færre
armhevinger enn Knut. Hvor mange armhevinger tar Janne?
I denne
undervisningsøkta skal elevene først arbeide individuelt, deretter i gruppe og
avsluttes i fellesskap. Ved å arbeide gruppevis får elevene øvd seg på
kommunikasjon i matematikk. De skal reflektere og argumentere for valg av
strategi og hvorfor dette gir riktig løsning.
Elevene
skal arbeidet individuelt først for å starte tankeprosessen, se om de finner ut
hva problemet er og om de har en løsningsstrategi. Alle skal få muligheten til
å dele sine tanker uten å bli påvirket av medelever eller lærere, derfor
individuelt først.
I grupper
på 3 elever, skal elevene dele sine tanker og mulige løsningsforslag. I
gruppene får elevene også mulighet til å stille spørsmål, om det er noe som er
uklart kan elevene hjelpe hverandre til å forstå problemet. Det er ikke gitt at
alle elevene forstår hva problemet er, dermed kan elevene være en god hjelp for
hverandre. Diskutere, resonnere og konkludere – elevene skal diskutere seg frem
til en løsningsstrategi alle er enig i og som alle forstår.
I
fellesskap skal elevene presentere gruppens løsningsstrategi. Elevene skal
forklare hvorfor de gjorde de valgene de tok, slik at medelevene får en
forståelse på hva de har tenkt.
Etter at
alle elevene har presentert sine løsningsstrategier, skal lærer ta en
gjennomgang av de ulike strategiene som er lagt frem. Hva er likheten? Er det
noen som skiller seg ut, og hvorfor? Samtidig kan læreren få elevene til å
reflektere over valgene de gjorde, slik som hvor startet prosessen og hvor gikk
den videre? På denne måten får elevene en forståelse for at det finnes ulike
måter å komme frem til rett løsning på - kanskje har alle gruppene ulike
strategier, men lik løsning, og da blir det tydeligere for elevene.
Ettertanke:
Selv om undervisningen
kan knyttes opp mot 7. årstrinn, er det fult mulig å gjennomføre denne
undervisningen i ungdomsskolen. I oppgaven
som er presentert i undervisningsopplegget kan problemet være veldig
utfordrende for noen elever, mens det for andre ikke er like utfordrende. Slik
jeg tolker Sullivan, Knott og Yang (2015) kan dette være et dilemma for lærere
når de presenterer oppgaver for elevene, at noen elever sliter veldig og dermed
gir opp. Det lærere kan gjøre er å variere den opprinnelige oppgaven, slik at
den tilpasses alle elevene – at alle elever har tilgang på oppgaven. Dette kan
også gjøres for elever som trenger litt mer utfordring. I oppgaven som er nevnt
i denne teksten, kan man variere den ved å endre vanskelighetsgraden, da ved å
for eksempel ha færre personer/objekter i oppgaveteksten.
Lærerens
rolle i denne settingen er å være en god veileder. Ved å bruke Polyas
problemløsningsprosess kan læreren stille de riktige spørsmålene til elever som
trenger hjelp for å komme videre i oppgaven. Som Polya forklarer er lærerens
rolle å hjelpe elevene. Den beste måten er at læreren setter seg inn i elevenes
situasjon, prøve å forstå hva elevene tenker og å stille spørsmål som elevene
selv kunne ha tenkt seg til (2013, s.1).
Litteraturliste:
Chapin,
S.H., O´Connor, C. & Anderson, N.C. (2009). Classroom discussions – using math talk to help students learn. Math solutions
Lesh,
R. & Zawojewski, J. (u.å). Problem
solving and modeling. Chapter 17, I: Second handbook of research on
mathematics teaching and learning.
Polya,
G. (2013). How to solve it. USA:
Stellar classics
Schoenfeld,
A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition,
and sense-making in mathematics. In D. Grouws (Ed.), Handbook for Research on
Mathematics Teaching and Learning (pp. 334-370). New York: MacMillan.
Sullivan,
P., Knott, L. & Yang, Y. (2015). The
relationship between task design, anticipated pedagogies, and student learning.
Chapter 3, page 83-111.
Van
de Walle, J.A., Bay-Williams, J.M., Lovin, L.H. & Karp, K.S. (2014). Teaching student-centeres mathematics –
developmentally appropriate instruction for grade 6-8. Pearson
Illustrasjonsbilde,
hentet 12.10.2017, fra: https://pixabay.com/p-150124/?no_redirect
Utdanningsdirektoratet
(2013): Kompetansemål etter 7.årssteg.
Hentet 11.10.2017, fra: https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-7.-arssteget
Kommentarer
Legg inn en kommentar