Problem based learning i algebra

Problem based learning i algebra

Tenk på dette: du gir 16 elever en problemløsningsoppgave i algebra uten at de vet hvordan de skal løse det. Hvor mange av eleven vil umiddelbart rekke opp hånden for å få hjelp? Hvor mange vil miste motivasjonen fordi det er for vanskelig, eller fordi de ikke ser løsningen med en gang? Hvordan kan du som lærer sikre at elevene lærer det de skal i en slik situasjon?

I dette blogginnlegget skal vi presentere et undervisningsopplegg som baserer seg på metoden «Problem Based Learning» (PBL) i arbeid med algebra. Norske elever på 9.trinn skårer dårlig på TIMSS i emnet algebra ifølge rapporten som ble utgitt etter TIMSS 2015 (Aftenposten 2016). Under Formål med faget i Læreplan i matematikk nevnes problemløsning som en viktig del av den matematiske kompetansen:

«Matematisk kompetanse inneber å bruke problemløysing og modellering til å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er. Dette har òg språklege aspekt, som det å formidle, samtale om og resonnere omkring idear.» (Utdanningsdirektoratet¹)

Før vi presenterer selve undervisningsopplegget vil vi gi en innføring i hva PBL-metoden går ut på, si litt om hva problemløsning er samt problemløsning og algebra, kort innføring i hva utfordrende matematiske problem er, og til slutt litt om begrepene «funneling» og «focusing».

PBL-metoden

Problem based learning, eller problembasert læring (PBL), ble i utgangspunktet utviklet for å brukes i medisinstudier, men har i senere tid også blitt brukt generelt på universitetsnivå, i videregående skoler og på barne- og ungdomsskoler (Hmelo-Silver 2004, s. 237). PBL-metoden er med andre ord svært fleksibel, og kan brukes i og tilpasses alle fag og ulike situasjoner.

PBL-metoden går ut på at grupper med elever skal være aktive og medvirkende i egen og gruppens læring. Gruppene får presentert et virkelighetsnært problem hvor de sammen må identifisere og analysere fakta for å forstå problemet. Gruppen skal så generere hypoteser om mulige løsninger, før de går hver for seg og utforsker problemet mer på egenhånd. Lærerens oppgave er å være tilrettelegger og veileder. Etter at elevene har jobbet med og utforsket problemet hver for seg går de sammen i gruppene igjen og setter sammen den nye kunnskapen hver enkel elev kommer med. Deretter skal elevene vurderer og reflekterer over løsningene de allerede hadde, og eventuelt endre og forbedre løsningen (Hmelo-Silver 2004, s. 236-237).

Figur 1 Hmelo-Silvers modell av problembasert læring-syklusen

Denne modellen illustrerer hvordan PBL-opplæringssyklusen ser ut.

PBL-metoden er designet for at elevene skal få en bredere matematisk kompetanse. Hmelo-Silver (2004, s. 240) har satt opp fem punkt som beskriver viktige mål med metoden (vår oversettelse):

        1)    konstruere en omfattende og fleksibel kunnskapsbase;

        2)    utvikle effektive problemløsningsferdigheter;

        3)    utvikle livslange, selvstyrte læringsferdigheter;

        4)    bli gode og effektive samarbeidspartnere; og

        5)    utvikle en iboende motivasjon for å lære

Denne videosnutten viser hvordan PBL-metoden fungerer, her illustrert av Universitet i Maastricht, som er stor tilhenger av denne metoden (https://www.youtube.com/watch?v=cMtLXXf9Sko&t=18s):

Problemløsning

Problemløsning gjorde sitt inntog på 1980-tallet, og det ble allerede da poengtert at skolematematikken burde fokusere på problemløsningsoppgaver (Schoenfeld 1992). Siden den gang har en rekke ulike definisjoner på hva problemløsning er, gjort seg gjeldende. Forskning viser at det er en rekke faktorer som spiller inn på hva som oppfattes som matematiske problemer og som matematisk problemløsning, og det er derfor det ikke finnes en universell eller unik definisjon på hva problemløsning er (Powell et al. 2009, s. 134-135). Likevel er det bred enighet blant forskerne om at problemløsning er en kognitiv prosess der problemløseren må ta i bruk kreative metoder for å løse oppgaven, siden det ikke er en gitt metode som åpenbart er den beste eller rette. Powell m.fl. (2009, s. 134) henviser til Mayer sin oppfatning av problemløsningens karakter: «Problem solving is cognitive processing directed at achieving a goal when no solution method is obvious to the problem solver». Ut ifra det vi nå vet om problemløsning kan man tenke seg at denne måten å jobbe på, kan være utfordrende for både elevene og læreren.

Å arbeide med utfordrende matematiske oppgaver, eller problemløsningsoppgaver som vi har valgt å kalle det for, vil både ha en sosial og kognitiv nytteverdi for elever (Powell et.al., 2009; Schoenfeld, 1992). Slike oppgaver vil kunne engasjere elever med ulik bakgrunn og matematiske forutsetninger, samt motivere til kreativitet og samarbeid i faget. Forskning viser også at å arbeide med problemløsningsoppgaver har en tydelig gevinst på kort sikt og er intellektuelt viktig på lang sikt (Powell et.al., 2009). Arbeid med slike oppgaver er også en fordel for oss som lærere fordi vi vil få enklere innsyn i elevenes matematiske kompetanse, resonnering- og argumentasjonsevne og i deres tankeprosesser (Powell, et.al., 2009).

Problemløsning og algebra

Kieran (2007) legger fram fire ulike kilder til kunnskap innenfor temaet algebra:

«(a) meaning from the algebraic structure itself, involving the letter-symbolic form; (b) meaning from other mathematical representations, including multiple representations; (c) meaning from the problem context; and (d) meaning derived from that which is exterior to the mathematics/problem context (e.g., linguistic activity, gestures and body language, metaphors, lived experience, image building, etc.)” (Kieran 2007, s. 710-711)

Punkt (a) henviser til kunnskap man kan få fra den algebraiske formelle strukturen i seg selv, punkt (b) omfatter det å se/tenke algebraisk ved hjelp av ulike representasjoner slik som grafer/situasjoner/formler, kunnskap som er grunnet i problemets kontekst underligger i punkt (c), og punkt (d) sier at kunnskap kan komme fra utsiden av det matematiske problemet. Kieran (2007, s. 712) sier (om punkt (c)) at det å kunne koble en virkelighetsnær situasjon til algebraiske uttrykk vil hjelpe elevene til å se sammenhengen mellom sine opplevelser og det formelle matematiske språket. Hun henviser også til flere forskere og sier at problemløsningskonteksten er «…foundational to the emergence and evolution of algebraic reasoning.» (Kieran 2007, s. 712). Ut ifra dette mener vi at å jobbe med problemløsningsoppgaver i algebra er helt essensielt for at elevene skal få muligheten til å videreutvikle sine algebraiske resonnementer.

Åpne spørsmål

Ifølge Stillman m.fl. (2009) er en av grunnene til at lærere ofte er usikre på bruk av problemløsningsoppgaver at lærerne ikke er komfortabel med hvordan man skal håndtere de ulike utfordringene og muligheten som kan oppstå. Stillman m.fl. (2009) påpeker at det å stille åpne spørsmål, er et godt hjelpemiddel for en lærer i en slik situasjon. Som nevnt tidligere er det lærerens rolle under en økt med problemløsning å være en veileder og tilrettelegger for elevene (Hmelo-Silver 2004), i motsetning til den tradisjonelle lederrollen man gjerne inntar under tavleundervisningsøkter. Videre sier Stillman m.fl (2009) at ikke alle åpne spørsmål er like, og fremmer to ulike metoder en lærer kan bruke og bør være bevisst på ved bruk av åpne spørsmål, nemlig «funneling» og «focusing».

Funneling

«Funneling» er en måte læreren kan stille spørsmål på til elevene, slik at det er lærerens måte å løse det matematiske problemet som blir, ved mangel på et bedre ord, «overført» til elevene. Læreren kan stille åpne og ledende spørsmål, slik at elevens tanker går i samme bane som lærerens. Dette er ikke nødvendigvis noe negativt, men poenget bør være at eleven selv skal lære å stille slike spørsmål til seg selv (Stillman et al. 2009, s. 264-265). Stillman m.fl. (2009) forteller også at «funneling» med fordel kan brukes når elevene er i innlæringsfasen med å jobbe med problemløsningsoppgaver.

Focusing

«Focusing» er derimot måten læreren kan stille spørsmål til elevene på, slik at det er elevens egen strategi og argumentasjon som er i fokus. For at denne metoden skal være til hjelp, sier Stillman m.fl. (2009, s. 265) at det er viktig at læreren har dyp kunnskap om hvordan eleven tenker. Ifølge Stillman m.fl. (2009, s. 247-248) og Hmelo-Silver (2004, s. 236-237) er det et poeng at elevene skal bli selvstyrte lærere. Strategiene elevene lærer seg vil være svært nyttig i framtiden når elevene skal lære seg noe nytt, både i matematikken og på andre fagfelt.

Så hvordan kan vi få elevene til å strategisk gå løs på problemløsningsoppgaver? Stillman m.fl. (2009) kommer med figuren nedenfor som viser en strategi elevene kan bruke for å lære å løse problemløsningsoppgaver:

Figur 2: Stillman m.fl. strategifigur

Figuren viser til nyttige momenter som både lærere og elever bør være bevisst på når man jobber med problemløsningsoppgaver. Det er viktig for oss som lærere å være bevisst på elevenes tankeprosess, slik at vi kan være en best mulig veileder. Ideen er at eleven kan starte i hvilket som helst hjørne og bevege seg, gjerne i samarbeid med medelever, mellom de ulike momentene for å nærme seg en løsning. Nedenfor er noen gode hjelpespørsmål eleven kan stille seg for å komme frem til en løsning på problemløsningsoppgaven:

Figur 3 Flere spørsmål elever kan stille seg (Stillman m.fl., 2009, s.260)

Våre rammefaktorer og læringsmål i undervisningsopplegget

Undervisningsopplegget vi har utviklet er som nevnt innledningsvis basert på PBL-metoden. Vi har gjennom hele ungdomsskolen jobbet med problemløsningsoppgaver og elevene har blitt godt kjent med PBL-metoden. Kadijivich og Marinkovic og Silver og Stein argumenterer ifølge Stillman m.fl. (2009) om at det å jobbe regelmessig med utfordrende matematikkoppgaver er essensielt for at elevene skal forstå at problemløsningsoppgaver er noe alle kan jobbe med og klare å løse. Videre sier også Stillman m.fl. (2009, s.252) at det å gjøre elevene bevisste på hva vi som lærere forventer av dem i ulike settinger er veldig viktig, spesielt i en endringsfase mellom tradisjonell undervisning og til bruk av problemløsning i undervisningen. Andre forskere som også støtter påstanden om at vi som lærere må gjøre elevene våre bevisst på hva som forventes av dem er Erna Yackel og Paul Cobb (1996). De har skrevet en artikkel om sosiomatematiske normer i klasserommet og om hvorfor det er viktig å utvikle slike normer (Yackel & Cobb 1996). Det er vi som lærere som legger opp til hva som for eksempel er et godt nok svar i matematikken. Godtar vi som lærere bare svaret i seg selv, eller krever vi at elevene våre skal forklare fremgangsmåten de bruker, at de skal reflektere over svaret de får og argumentere for hvorfor de mener det er rett (Yackel & Cobb 1996)? Skal man lykkes med et undervisningsopplegg basert på PBL-metoden er det helt nødvendig at elevene er delaktig og vet at deres fremgangsmåter skal presenteres og at svaret de kommer frem til må argumenteres for. Vi mener at god kommunikasjon, både mellom lærer-elev og elev-elev, er essensielt for at metoden skal lykkes, samt at de sosiomatematiske normene er klare og veletablerte i klasserommet.

Vi har en 10.klasse som består av 16 elever. Vi har 4 grupper med 4 elever i hver. Gruppene får de samme tre oppgavene som bygger på hverandre. Grunnen til at vi gir oppgaver som er til dels like hverandre er fordi arbeidet med det første problemet kan være til hjelp når gruppen skal løse de to neste litt mer utfordrende oppgavene. Vi kan kalle det å jobbe med en rekke av utfordrende oppgaver, eller strands of challenging tasks som Powell m.fl. (2009) kaller det i sin artikkel. Å jobbe med oppgaver som er overfladisk ulike, men som har samme matematiske struktur kan stimulere til at elevene utvikler nye matematiske ideer og begrunnelsesstrategier (Powell et.al, 2009, s.138-139). I vårt tilfelle vil elevene mest sannsynlig se en tydelig sammenheng mellom oppgavene i og med at utformingen av de tre oppgavene er veldig like. Likevel mener vi at dette kan sees på som en rekke av utfordrende oppgaver fordi oppgavene stegvis vil fremprovosere en høyere grad av abstraksjon. De tre oppgavene vi har valgt ut er:

1. Vi har to bøtter, en rommer 5 liter, den andre 3 liter. Hvordan kan vi ved hjelp av disse bøttene måle opp 4 liter?
2. Vi har samme utgangspunkt som forrige oppgave, men nå har vi også en stor beholder som vi kan helle vann i og helle vann ut av. Vi skal ha 4 liter i beholderen. Hvor mange måter kan vi få 4 liter i beholderen på?
3. Vi har nå to bøtter, en rommer 6 liter, den andre 4. Hvordan kan vi ved hjelp av disse bøttene måle opp og få 5 liter i beholderen?

Her finnes det et klipp fra filmen Die Hard 3 hvor den første oppgaven blir forklart (https://www.youtube.com/watch?v=6cAbgAaEOVE). 

. 

Vi viser elevene oppgaven fra filmen, slik at elevene ser at matematikk blir brukt i populærkultur og dette tenker vi kan hjelpe på motivasjonen hos mange.

Vi har tatt utgangspunkt i disse tre kompetansemålene fra læreplanen i matematikk:

•        behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk, knyte uttrykka til praktiske situasjonar, rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk og bruke kvadratsetningane
•      analysere samansette problemstillingar, identifisere faste og variable storleikar, kople samansette problemstillingar til kjende løysingsmetodar, gjennomføre berekningar og presentere resultata på ein formålstenleg måte
•        bruke tal og variablar i utforsking, eksperimentering og praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design (Utdanningsdirektoratet²)

Ut ifra disse kompetansemålene har vi laget tre læringsmål for elevene:

• Elevene skal forstå et matematisk problem, jobbe i grupper for å løse det, og presentere og argumentere for løsningen deres.
• Elevene skal se sammenhengen mellom virkeligheten og matematikken
• Elevene skal utforme et algebraisk uttrykk

Det tredje læringsmål er et læringsmål som kanskje bare enkelte av elevene eller gruppene vil kunne klare. Ser vi som lærere at det blir for vanskelig for gruppene å finne et algebraisk uttrykk underveis i gruppearbeidet, vil vi vente med å ta det opp til den siste delen av undervisningsøkten, i klasseromsdiskusjonen (se illustrasjon lenger ned).

Både oppgavene og læringsmålene våre legger opp til at elevene kan finne kunnskap som grunner i problemets kontekst (punkt (c) i Kierans kilder til kunnskap), samtidig som at elevene får muligheten til å få kunnskap som kommer utenfra problemets kontekst (punkt (d)) ved å bruke PBL-metoden. Elevene får for eksempel både prøve seg på å tenke algebraisk ut ifra en kontekst og de får muligheten til å lære av seg selv og andres muntlige aktivitet idet de samtaler rundt problemløsningsoppgaven. Elevene vil også kunne få kunnskap som grunner i punkt (a) og (b) i vårt undervisningsopplegg, men i hovedsak vil kunnskapen mest sannsynlig komme fra (c) og (d).

Undervisninsøktene

Vi jobber med disse oppgavene over flere matematikktimer, der disse timene forekommer på ulike dager. (figurene nedenfor har vi tegnet selv)

Vi introduserer elevene for problemene og viser dem læringsmålene.

Her deler vi elevene i grupper og gir dem muligheten til å utforske problemene gjennom samarbeid og diskusjon. Vi har jobbet med Stillman m.fl. sin strategifigur (Figur 2) sammen med elevene tidligere og de vet hva de ulike momentene i figuren innebærer. En måte elevene kan bruke figuren og hjelpespørsmålene (Figur 3) på kan for eksempel være når elevene skal finne frem til et algebraisk uttrykk ut ifra oppgaveteksten. I så tilfelle kan elevene da spørre seg om de kan relatere oppgaveteksten til noe lignende som de har sett før? Kanskje kan elevene skape andre representasjoner? Kan elevene undersøke problemet på ulike måter og finne fram til en løsning? Er løsningen elevene kommer frem til korrekt? Dette er noe de sammen burde evaluere. Hvordan kan elevene kommunisere sine tanker til både seg selv og til andre? I oppstartfasen vil det ofte kunne oppstå mange spørsmål, og da er det viktig at vi som lærere bruker «focusing»-strategien som fokuserer på å videreutvikle elevenes egne tankemønster og ideer. Siden våre elever er kjent med PBL-metoden og dermed har blitt rutinerte problemløsere, kan vi som lærere benytte oss av «focusing»-strategien.

Både under og etter den første timen får elevene muligheten til å bli «self-directed learners». De skal da jobbe videre med problemløsningsoppgavene på egenhånd. De kan bruke ulike kilder som er vist på tegningen til å finne løsningen på problemene.

Den andre timen møtes gruppene igjen og de skal da diskutere videre og ta opp eventuell ny kunnskap elevene har fått mens de jobbet på egenhånd. I begge timene, men spesielt denne, er det viktig at vi som lærere holder rollen som veileder og ikke tar for stor plass. Vår oppgave er fortsatt å stille spørsmål som tar utgangspunkt i elevenes egne tanker og strategier. Elevene skal knytte sammen de nye kunnskapene, og det er derfor spesielt viktig at læreren minner elevene på de ulike momentene som figur 2 illustrerer. I denne situasjonen er en av våre viktigste oppgaver som lærere å veilede slik at elevene lykkes med å knytte sammen kunnskapen de sitter med. Når elevene jobber sammen i grupper på denne måten vil deres evne til å samarbeide forbedres. Dette er noe PBL-metoden er designet for å gjøre (Hmelo-Silver 2004, s. 240).

Når gruppene har jobbet med å finne en løsning på problemene skal de presentere sine løsninger for resten. Dette gjør vi fordi det vil få frem at det samme problemet kan løses på ulike måter, og at det ikke nødvendigvis bare finnes en rett fremgangsmåte. Vi som lærere har jobbet aktivt med klassen når det kommer til å respektere andres måter å løse matematiske problemer på. Imidlertid ønsker vi også at elevene våre skal lære seg å være kritiske og lære å stille konstruktive spørsmål til hverandre.

I etterkant av presentasjonene skal vi ha en klassediskusjonene. Får å få til en god klasseromsdiskusjon er det helt essensielt at det er etablert et trygt klassemiljø hvor elevene føler seg komfortabel med å fremme sine egne ideer og tanker (Schoenfeld 1992, s. 86). Her ønsker vi som lærere å diskutere de ulike løsningene ytterligere. I felleskap med elevene vil vi diskutere om noen av løsningene var bedre enn andre, for eksempel var kanskje noen av metodene mer effektive enn andre? I oppgave nummer to kommer det for eksempel ikke fram hvor stor beholderen er. Ved å ikke oppgi hvor stor beholderen er gir vi elevene muligheten til å vurdere ulike størrelser og dermed komme frem til ulike løsninger. Dette er noe vi synes har en verdi i og med at elevene viser selvstendig tankegang ved å sette spørsmålstegn ved hvor stor beholderen er. Imidlertid er det ikke sikkert at alle gruppene har problematisert dette, og derfor kan det være et mulig tema til diskusjon.

Det tredje læringsmålet vi ga elevene våre, handlet om at de skulle utforme et algebraisk uttrykk. Som nevnt ville nok dette være et læringsmål ikke alle gruppene oppnådde, derfor er det et aktuelt tema å diskutere i felleskap. Å finne et algebraisk uttrykk kan knytte sammen ulike matematiske felt, øke abstraksjonsnivået, samt øke elevenes forståelse av matematikk som et helhetlig sammensatt felt. Vi vil også diskutere prosessen i sin helhet i lag med elevene. Kanskje var det noe som var uklart med oppgavene, eller at gruppene ikke samarbeidet godt nok. Slike utfordringer og problematikk skal klasseromsdiskusjonen være et forum for.

Oppsummering

Forskning viser at å jobbe kontinuerlig med problemløsningsoppgaver har en stor kognitiv effekt hos elever. Elevene vil utvikle fleksible og effektive matematiske strategier og deres matematiske kompetanse vil bli bredere og mer sammensatt. Utfordringen med PBL-metoden og det å jobbe med problemløsningsoppgaver er at det kan ta langt tid å implementere arbeidsmetoden i en klasse. Dersom klassen er vant til å jobbe med forholdvis enkle øvingsoppgaver der de «plotter» tall inn i en gitt algoritme kan overgangen til problemløsningsoppgaver virke overveldende både for elever og lærere, spesielt i starten. Det kan være en tidkrevende prosess å innføre PBL-metoden og lære elevene å arbeide med problemløsningsoppgaver, imidlertid mener vi fordelene med metoden, som vi også ser at forskningen støtter opp om, er såpass store at det vil være verdt det. Elvene vil kunne utfordre sine medelever og seg selv på sine oppfatninger av matematikk, og utvikle god samarbeidskultur samtidig som de har muligheten for å øke både bredden og dybden i sin matematiske kunnskap.

Litteraturliste

Aftenposten.(2016). Slik presterer norske elever i matte og naturfag – TIMSS-resultatene oppsummert i syv grafer. Lastet ned fra https://www.aftenposten.no/norge/i/K4W6M/Slik-presterer-norske-elever-i-matte-og-naturfag--TIMSS-resultatene-oppsummert-i-syv-grafer (Hentet: 10.10.17)

Hmelo-Silver. (2004). Problem-Based Learning: What and How Do Students Learn? Educational Psychology Review, 16(3), 235-266. doi: 10.1023/B:EDPR.0000034022.16470.f3

Kieran. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through collage levels. I F.K. Lester (Red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning.

Powell, Borge, Fioriti, Kondratieva, Koublanova, & Sukyhankar. (2009). Challenging tasks and mathematics learning. Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom: Springer US.

Schoenfeld. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. Handbook of research on mathematics teaching and learning, 334-370.

Stillman, Cheung, Mason, Sheffield, Sriraman, & Ueno. (2009). Challenging mathematics: Classroom practices. . Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom, 243-283.

Utdanningsdirektoratet.². Kompetansemål etter 10. årssteget - matematikk. Lastet ned fra https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-10.-arssteget (Hentet: 28.09.17)

Utdanningsdirektoratet.¹. Læreplan i matematikkfaget fellesfaget. Føremål. . Lastet ned fra https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Formaal (Hentet: 05.10.17)

Yackel, & Cobb. (1996). Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education(27), 448-477.