Mer enn å bare "flytte over"

TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) er et internasjonal forskningsprosjekt som blant annet ser på matematikkfaget. I etterkant av TIMSS-testene 2015 er det gitt ut en rapport som forteller at norske 8.klassinger gjør det dårligere i matematikkfaget, spesielt innenfor emnet algebra, sammenlignet med de andre europeiske landene som deltar i TIMSS (Bergem, Kaarstein, & Nilsen).  Ligninger er eksempel på oppgaver som tilhører emnet algebra.  Når man løser ligninger kan dette være eksempel på en regel man skal huske ”Det er bare å flytte over og endre fortegn”. Dersom man bruke denne regelen har ikke elevene noen forhold til hva som egentlig skjer, noe som kanskje gjør at også temaet algebra blir vanskeligere? Jeg ønsker i dette innlegget å gi et forslag på en introduksjon til algebra for elever på 5.trinn

 https://www.youtube.com/watch?v=ZvWOrOMQqbg

Her er et eksempel på en video der man forklarer hvordan man løser ligningen, men man bruker samtidig regelen med ”flytte over og forandre fortegn”.

Kompetansemål fra Ko6: ”finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga”

Mål for økten: Eleven skal finne informasjon i praktiske samenhenger, forklare fremgangsmåte og diskutere løsningen.  Forståelsen av likhetstegnet er vesentlig i diskusjonen.

Forskning:

Kierran (1996) deler skolealgebraen inn i tre ulike aktiviteter, som hun kaller for GTG modellen;  den generaliserende, den transformerende og global/meta-nivå.   I generaliserende algebra skal elevene fortolke mønster og utfra dette kunne sette opp ligninger eller utrykk.  Den transformerende aktiviteten kan sammenlignes med det regnetekniske innen algebra, der elevene skal kunne faktorisere,  forenkle eller løse et utrykk eller en ligning. Global/meta-nivå Kieran mener at å jobbe med aktiviteter med utgangspunkt i global/meta-nivå kan være med på å motivere og engasjere elevene med også å jobbe med generaliserende og transformerende oppgaver (Kieran 2007).

Forskning har begynt å finne ut av hvilke dimensjoner som er nødvendig når man underviser i algebra. Blant annet å kunne se på elevens resonnement i algebra,  elevers tolkning av algebraisk notasjoner, samt hva elever synes er vanskelige eller eventuelle misoppfatninger (Kieran 2007, s741).  Med misoppfatninger mener jeg systematiske tankefeil som er knyttet til emnet algebra. Misoppfatningen skyldes feil fra tidligere erfart kunnskap (Joahnsen, 2001).  Dersom eleven har systematiske feil er det viktig at læreren avdekker denne misoppfatningen og dermed kan hjelpe eleven til å se denne feilen.

I Kierans artikkel (2007) kommer det også frem fordelen med å la elevene finne informasjonen, i stedet for å at læreren gir dem informasjonen.  Ved å presentere spørsmål og stille dem til elevene, kan læreren hjelpe elevene til selv å se sammenhenger i matematikk.

I Moyers artikkel (2001) trekkes det frem at noen bruker konkreter i matematikk fordi det er gøy.  Derfor mener Møyer det er viktig å få frem at konkreter i matematikk brukes for at elevene skal lære noe og at konkretene er et hjelpemiddel for at elevene skal forstå matematikken bedre. Konkretiseringen skal  ikke oppleves som et avbrekk fra den ”vanlig” undervisningen, men en metode for å lære et emne på.  Dersom læreren bare bruker materielle som pauser eller dersom det er tid tilovers, kan elevene få et inntrykk av at bruk av konkretiseringsmateriell ikke er så viktig. Derfor er det viktig at læreren har en pedagogisk grunn for valg av konkretiseringsmateriellet. Læreren må derfor forstå elevens fremgangsmåte eller strategi, slik at eleven får et matematisk læringsutbytte av aktiviteten.

Elever kan oppfatte matematikk som et fag med huskeregler og der man kan følge en algoritme (fremgangsmåte), uten at elevene skjønner hva de egentlig gjør (Herheim, 2016). Det gjelder regler som elevene har fått beskjed om at de må huske for å klare å løse ulike oppgaver. Dette er i liten grad med på å utvikle elevens forståelse i matematikk. Dette er også med på å gi en oppfatning av matematikk som et ikke-logisk fag og et fag det er vanskelig å få forståelse for. Herheim (2016) skriver også om språk av 1. og 2.orden innenfor matematikkfaget. Når et begrep er av 1.orden vet eleven hva begrepet betyr og kan bruke begrepet i sitt eget språk. Språk av 2.orden er et språk som elevene ikke forstår betydningen av. Det kan for eksempel være et begrep, der eleven har hørt begrepet, men ikke hva dette begrepet  innebærer.  For å komme seg fra 2.ordens til 1.ordens språk må ofte elevene gå via et omsetningsledd. Et omsetningsledd kan være en graf, medelev, forklaring fra læreren eller visualisering. Omsetningsledd er altså noe som støtter eleven i overgangen fra 2.orden til 1.ordens språk.

Watson og Mason (2006) trekker frem viktigheten av at elevene kan gjenkjenne mønster og deretter ha muligheten til å generalisere. Dette kan blant annet gjøres ved variasjonsteorien. I korte trekk går variasjonsteorien ut på at du har noe fast i oppgaven (noe som ikke endres), mens du har noen elementer som skal varieres.  Ved å jobbe med oppgaver der man blant annet skal gjenkjenne mønster, er ønsket at elevene skal få nysgjerrighet og et ønske om å finne ut hva som er den matematiske grunnen for mønsteret.  Ved å varier enkelte deler av oppgaven kan dette føre til at eleven møter teknikkutvikling, symbolsk erfaring, forventninger, overraskelser og bekreftelser.  Dermed kan det være lurt å ha deloppgaver der det er små variasjoner, slik at elevene har mulighet til å se mønsteret. Derfor kan det hende at oppgavene må endres eller tilpasses, dersom elevene ikke ser det mønsteret som læreren hadde tenkt skulle komme frem.

Opplegget:

Dette opplegget er laget for en 5.klasse, der økten er ment å være en introduksjon til emnet algebra. Slik jeg ser på lærerplanene har ikke 5.klassinger spesifikk algebra på planen, men jeg håper dette kan vær en god innledning på temaet algebra.  Målet for økten er at eleven skal skjønne betydningen av likhetstegnet, finne sammenhengen i oppgaven, samt diskutere og presentere løsninger for hverandre.

Selve oppgaven er at elevene får informasjon om to personer som skal ut å reise. Bagasjen til de reisende  skal veie like mye.  Elvene får oppgitt antall kilo som er pakket i bagen. De får også se noen gjenstander som personene har med seg på reisen, men som ikke er med regnet i den oppgitte vekten på bagen. Elvene må derfetter finne ut  hvor mye en bestemt gjenstand veier. Informasjonen blir gitt på kort som eleven får utdelt. Av kortene ser man at den ene personer har med seg en gjenstand som den ene personen ikke har. Deretter får eleven i oppgave å finne ut hvor mye denne gjenstanden veier. Her er meningen at elevene skal samle det det ene personen har med seg på en side og den andre personens bagasje på den andre.  Det er altså ønskelig at eleven skal sette dette opp  som en ligning.  Jeg mener dette henger sammen med generaliserende algebra i GTG-modellen siden jeg ønsker at elevene skal klare å lage en ligning ut fra denne situasjonene, samt finne vekt på ulike gjenstander. Jeg mener også at oppgavene er for ”enkle” til å være global-meta-niva. Det viktige er at elevene får en forståelse og skaper nysgjerrighet rundt emnet algebra. På bildet under kommer et eksempel:

                        Ali                                                          Hilde

        18kg  + ⚽ + 🔭     =   20kg  + ⚽

Dette er tenkt som en introduksjon til å få frem meningen med ”likhetstegnet”. Det som står på høyre side skal være ”likt” det som står på venstre side. Forhåpentligvis vil dette gjøre at elevene ikke forventer et svar etter et likhetstegn, men at det som kommer etter kan være et utrykk eller en omskrivning med samme verdi som det som stå på venstresiden av likhetstegnet.  Jeg håper jeg også kan hjelpe elevene til forståelse av symbolet og begrepet likhetstegn. For eksempel når man løser ligning så kan det som kommer etter likhetstegnet være en måte å skrive det samme på, uten at det nødvendigvis trenger å være et konkret svar på oppgaven. Forhåpentligvis skjønner elevene at man også kan bruke likhetstegnet dersom man skal vise at et utrykk kan skrives på en annen måte.

I utforming av oppgavene bør man ta utgangspunkt i variasjonsteorien. Siden jeg ønsker at elevene skal få forståelsen av likhetstegnet i algebra, bør jeg derfor tenke på at oppgavene må få frem dette. For eksempel kan jeg lage oppgaver der jeg trekker inn flere ledd, mens selve likhetstegnet er konstant. I tillegg kan jeg utarbeide en oppgave der ”datamaskin=paraply”. Da må elevene få mulighet til å reflektere og diskutere dette resultatet.  Siden vi snakker om vekt betyr dette at datamaskinen og paraplyen veier like mye.

Elevenes nivå  og forståelse i matematikk er også forskjellig, noe som gjør at det kan være behov for å tilpasse oppgaven. Dette kan blant annet gjøres ved å endre selve oppgaven, altså øke/minske vanskelighetsgraden. For eksempel blande inn enkle brøker, for eksempel at 2 baller=datamaskin. Da blir altså en ball å veie  halvparten av en datamaskinen. I tillegg kan man som lærer spørre elevene ulike spørsmål og bruke ulike begreper. Siden elever har forskjellig nivå i matematikk, kjenner de kanskje også ulike begreper.  Dermed kan læreren tilpasse samtalene han har med hver enkelt elev. Disse samtelene kan derfor være til  hjelp for hver enkelt elev til å få begreper fra å være 2.språk til å bli 1.språk. Et eksempel på dette kan være at noen elever introduseres for begrepet ”variabel”, dersom de har fått en forståelse av likhetstegnet. 

I tillegg ønsker jeg  at elvene tidlig får inn elementer på resonement, som elvene senere kan bruke når man løser ligninger. Det er ikke bare å flytte over og bytte fortegn, men vi kan endre ligningen så lenge dette gjøres på begge sider av likhetstegnet.  Dette for at elever skal få en forståelse av hva vi egentlig gjør ”når vi flytter over”.  Jeg knytter dette opp til Rune Heims (2016) artikkel ”Matematikk som magi”.  En måte å skape denne forståelsen på er at læreren stiller elevene spørsmål om fremgangsmåte, samt stille ledende spørsmål som kan hjelpe eleven. Dette mener jeg henger sammen med Kierans tanker om at læreren ikke skal gi informasjonene til eleven, men stille de rette spørsmålene, slik at eleven selv finner informasjonen. Ved at læreren også prøver å forstå strategien eleven bruker kan læreren bruke dette for å hindre at elevene danner seg misoppfatninger i algebra.

Oppgaven benytter seg av konkreter, ved at elevene har kortene de benytter seg av når de skal løse oppgavene.  Derfor er det også viktig at læreren viser at dette er en del av matematikkundervisningen og ikke noe de de gjør bare fordi det er gøy (Moier, 2001).  Læreren bør stille spørsmål som får eleven til å reflektere over hvorfor han løser oppgavene slik han gjør, samt at eleven får mulighet til å vurdere både fremgangsmåten og løsningen på oppgaven. Etter at elevene har løst oppgavene skal læreren sørge for at elevene har mulighet til å generalisere, slik at elevene ser det matematiske som ligger bak denne oppgaven. Oppgavene er ikke prøvd ut i undervisningssammenheng, så derfor er det viktig at opplegget revideres etter gjennomføringen. Konkrete oppgaver, samt samtalene læreren har med elevene må også tilpasses klassen som skal ha økten. Jeg håper dette kan skape en nysgjerrighet som kan inspirere elevene til å jobbe mer med algebra!

 Referanseliste:

Bergem, O. K., Kaarstein, H., & Nilsen, T. (u.d.). www.idunn.no. Hentet fra Vi kan lykkes i realfag - resultater og analyser fra TIMSS 2015: https://www.idunn.no/vi-kan-lykkes-i-realfag

Herheim, R. (2016). Matematikk som magi – hugsreglar og konsekvensar. I T. E. Rangnes & H. Alrø (Red.), Matematikklæring for framtida: Festskrift til Marit Johnsen-Høines (s. 129–146). Bergen: Caspar Forlag.

Johansen, O. H. (2001). duo.uio.no. Henta frå Misoppfatninger i matematikk blant elever i Namibia og Norge - En komparativ undersøkelse: https://www.duo.uio.no/bitstream/handle/10852/32352/olejohansenhf.pdf?sequence=1 &isAllowed=y

Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels: building meaning for symbols and their manipulation. I Second handbook of research on mathematics teaching and learning (ss. 702-762).

Moyer, P. S. (2001). "Are We Having Fun Yet? How Teachers Use Manipulatives to Teach Mathematics." Educational Studies in Mathematics 47(2): 175-197.

 Watson, Anna og Mason, Jon (2006) Seeing an Exercise as a Single Mathematical Object: Using Variation to Structure Sense-Making, Mathematical Thinking and Learning, 8:2, 91-111, DOI: 10.1207/s15327833mtl0802_1

Utdanningsdirektorate: https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-7.-arssteget  Lærerplanene i matematikk 7.trinn (Lesedato 20/9) Lund, Helge

Youtube, Publisert 31.Mars  2015. ”4 1 Å løse ligninger 2B teori”.

https://www.youtube.com/watch?v=ZvWOrOMQqbg. (Lesedato 15/10-17).