Hvilket mønster ser du?

Bilde 1 (The Myth of Being ´bad´ at Math, 2015)

Visste du at moderne vitenskapelig forskning viser at arbeid med utfordrende matematikk muliggjør utvikling av nye koblinger i hjernen? Og at den utbredte troen på at enkelte av oss har en medfødt evne til å lykkes i matematikk, mens andre ikke er slike «matematikkpersoner», bare er en myte? At mulighetene for matematisk suksess ikke er medfødt? Og at alle elever kan lære matematikk på et høyt nivå? (Boaler, 2015)

Jo Boaler (2015) tar et oppgjør med holdningen om at matematikk er forbeholdt enkelte, og er langt fra den eneste matematikkdidaktikeren som kritiserer en prosedyrepreget skolematematikk. Powell et.al. (2009) finner at for mange elever oppleves matematikken som både mystisk og utilnærmelig, mens Herheim (2016) på sin side oppsummerer skolematematikken som et huskefag. I følge Boaler (2015), er forutsetningen for at elever skal lykkes i matematikk, også på høyere nivå, undervisning som gir gode læringsopplevelser, utfordringer og tid til å streve. 

Kan vi klare det da?

I et hav av studier og forskningsresultater, problematiseres flere forhold omkring undervisning og læring i matematikk. Heldigvis søkes det også etter gode, mulige løsninger.

Basert på Boaler (2015), og Carraher & Schliemann (2007) utpekes tre problemområder:

1.       En utbredt holdning om at matematikk er forbehold enkelte

2.       Ungdommer sliter med å forstå algebra

3.       Mye av praktiserende matematikkundervisning er prosedyreorientert

Jeg vil derfor presentere et undervisningsopplegg, hvis hensikt er å:

1.       Gjøre matematikken tilgjengelig og oppnåelig for alle

2.       Introdusere tidlig algebra

3.       Gi utforskende og problemløsnings-orienterte oppgaver

BESKRIVELSE AV UNDERVISNINGSOPPLEGGET

Undervisningsopplegget er tiltenkt mellomtrinnet, og tar utgangspunkt i læreplanens kompetansemål etter 7.årstinn; hovedområdet tall og algebra; og følgende målbeskrivelse: elevene skal kunne «utforske og beskrive strukturar og forandringar i geometriske mønster og talmønster med figurar, ord og formlar»  (Utdanningsdirektoratet, 2013).

Opplegget er todelt, og beregnet tidsbruk er 1-2 skoletimer.

DEL 1 – å se på en samling av prikker (strukturering)

Aktiviteten i del 1 er hentet direkte fra en undervisningsøkt med Jo Boaler, og i tillegg til min beskrivelse, viser videoklippet hvordan aktiviteten kan gjennomføres. Videoen viser også hvilken respons som kan forventes fra en elevgruppe, og hvordan læreren bør respondere. 

(Jo Teaching A Dot Card NumberTalk SD, 2015)

Utstyr: Smart Board eller Projektor

Forklar for elevene at de skal få se et glimt av en samling av prikker. Det er et poeng at elevene ikke får tid til å telle prikkene. Oppgaven er å finne ut hvor mange prikker som vistes på skjermen, uten å telle. Samlingen av prikkene vises på skjermen i 1-2 sekunder, før mønsteret fjernes. 

Følgende spørsmål stilles til hele klassen:
Spørsmål 1: Hvor mange prikker var det?

Spørsmål 2: Hvem vil fortelle hvordan de så disse syv prikkene? (Hent gjerne fram bildet av prikkene på skjermen igjen, slik at mønstret kan brukes som referanse når elevene skal forklare hvordan de så de 7 prikkene).

Elevene kan nå etter tur forklare hvordan de visualiserte mønstret, og hvordan de kom fram til riktig antall. Læreren illustrerer hver forklaring ved å tegne på tavla. For eksempel kan elever forklare at han/hun så mønstret som a) 3 vannrette linjer: 2 korte og en litt lengre, b) 3 på hver side og 1 i midten, c) Tre linjer på skrå, osv. 

Tegningene på tavla viser alle de ulike skildringene som gruppa i fellesskap er kommet fram til. Elevene kan også oppfordres til å forklare andre mulige visualiseringer av prikke-mengden, enn den de selv brukte.

Aktiviteten synliggjør alle de forskjellige tilnærmingene og beskrivelsene som tilhører det samme mønstret, og det vil være et poeng at læreren fremhever nettopp denne sammenhengen.

DEL 2 – voksende mønster (generalisering)

Plasser elevene i grupper på 3-4 elever. Hver gruppe skal ha blyant og ark tilgjengelig.

Samlingen av prikker som elevene har visualisert på flere måter, viser seg å være en del av en rekke voksende mønster, hvor de 3 første figurene ser slik ut:

La elevene i grupper diskutere følgende oppgaver:

1: Er det en sammenheng mellom figurene i rekka?

2: Hvordan tror dere at den neste figuren i rekka vil se ut?

              Hvorfor?
              Tegn den neste figuren

3: Gi hver figur nummer i stigende rekkefølge (nr.1, nr.2, nr.3, nr.4).

              Hvor mange prikker mener dere det vil være i figur nr. 5?
              Enn figur nr. 10?

4: Kan dere si noe om antall prikker i figur nr. 100, uten å tegne?

Hva er regelen?

Det er sentralt at oppgavene presenteres etter tur, for å unngå at fokuset er å bli ferdig. Elevene må få den tiden de trenger på hver oppgave. Undervisningen er designet for å gi læreren mulighet til å samtale med og veilede hver gruppe underveis.

FORSKNINGSBASERT BEGRUNNELSE

UNDERVISNINGSOPPLEGGETS DEL 1

Enhver undervisningstime er preget av situasjon og kontekst, eller klasseromslivet – og visa versa. Sosiale prosesser er en del av matematikkundervisningen, og elevens læring, resonnering og meningsskaping i matematikk, kan ikke forstås separat fra det klasseromslivet elevene er en del av. Yackel og Cobb (1996) bruker begrepet sosiomatematiske normer, for å beskrive de felles «spilleregler» og holdninger til matematikk og matematikkundervisning som dannes, bevisst eller ubevisst, i et klasserom. Lærerens respons på handlinger i klasserommet er helt avgjørende for de sosiomatematiske normene som oppstår. Dessuten er lærerens egne personlige meninger og holdninger til matematikk og responsen som gis (i tillegg til kunnskap og forståelse i matematikk) særdeles viktig. Så da er det godt vi har fått avklart, en gang for alle, at suksess i matematikk verken er medfødt eller forbeholdt enkelte. Aktiviteten har en tilgjengelighet for alle elevene: det er en oppgave som ikke krever spesielle forutsetninger, som er oppnåelig, virker inkluderende og kan derfor virke positivt på klassens sosiomatematiske normer. Det er en god start på en god læringsopplevelse, som jo er et av Boaler`s krav for at elever skal lykkes.

Hvorfor visualisere et mønster?

Visualisering, systematisering, og studiet av struktur, er framfor alt, det matematikk dreier seg om (Lesh & J., 2007, s. 782). Vi mennesker har et behov for å forklare fenomener i den verden vi lever i, og det gjør vi gjennom å systematisere. Vi leter etter mønster, noen ganger helt ubevisst, og den subitiseringen (subitizing: gjenkjenne antall uten å telle (Clements & Sarama, 2007)), som elevene automatisk gjør i videoklippet, bekrefter nettopp det.

Det mest interessante med del 1 (syns jeg) er hvor enkelt det er å synliggjøre matematikkens mange ansikter. Tenk at et mønster kan beskrives på så mange måter! Ulike tilnærminger, ulike strategier, og ideen om at et problem kan løses på flere måter, viser seg å være grunnleggende elementer i et godt problemløsningsmiljø.

UNDERVISNINGSOPPLEGGETS DEL 2

Tidlig algebra

I Carraher og Schliemann´s (2007) gjennomgang av forskning på tidlig algebra, problematiseres det en del aspekter ved elevers forståelse i algebra. Utfordringer med å forstå likhetstegnets betydning og forståelsen av bokstaver som generaliserte tall eller variabler trekkes frem som typiske. Vi vet altså at mange tenåringer har vanskelig med å lære algebra. Hva er det som gjør algebra så vanskelig?

Søken etter løsninger på problemet, har frembrakt forslag fra forskere (ibid.) om å introdusere algebra mye tidligere i utdanningsløpet. Kort fortalt er ikke ideen å flytte læren om algebra, med sine notasjoner og formaliteter til et tidligere stadium, men å tidligere fremme algebraisk tenking, og kanskje til og med la algebraen være gjennomgående i læreplanen, i stedet for å oppstå som et isolert emne på mellom/-ungdomstrinnet.

Hvorfor bruk av figurtalloppgave?

Det er flere veier til algebraisk tenking. Et av forslagene er bruk av funksjoner. En funksjon er en sammenheng mellom to mengder. I det skisserte undervisningsopplegget, er det voksende mønsteret en funksjon fordi det er en relasjon (sammenheng) mellom figurnummeret og antall prikker. Nummeret i rekka avgjør antallet prikker i figuren.

Hensikten med undervisningsoppleggets del 2 er å bidra til algebraisk tenking og forståelse. Oppgaven ber elevene lete etter sammenhengen mellom nummer i rekka og antall prikker, og spør etter en generell regel for mønsterrekka. Algebra handler i stor grad om nettopp det – å generalisere. Å representere figurene som både mønster og antall, stimulere elevers visuelle og numeriske forståelse. 

Jeg forventer ikke at gjennomført oppgave på mellomtrinnet nødvendigvis resulterer i en generell formel for sammenhengen, uttrykt med variabler. Men, forskning på denne typen oppgaver, viser at elever i tidlig grunnskole i alle fall er i stand til å gjenkjenne funksjoner fra geometriske mønster, og bruke uformelt språk for å uttrykke sammenhengene (Carraher & Schliemann, 2007, s. 689).  Også Powell et. al. (2009) argumenterer for bruk av voksende mønster som en innledning til algebra. Å plassere funksjoner i sentrum av introduksjon til algebra, i stedet for likninger, innebærer å tenke bokstaver som variabler, i stedet for ukjente, og dermed bidra til en mer korrekt forståelse av bokstavenes betydning i algebraiske uttrykk (Carraher & Schliemann, 2007).

Ved å nummerere figurene (oppgave 3), gjøres rekkefølgen av figurene til en eksplisitt (synlig) variabel (et tall som varierer), i tillegg til at elevene får mulighet til å bevege seg fram og tilbake mellom de to ulike representasjonsmåtene (prikker og tall) for mønsteret. Hensikten med opplegget er å la elevene utforske sammenhengen, finne måter å forklare/begrunne sammenhengen på, og få mulighet til å representere sammenhengen på den måten de selv (eller med litt veiledning) kan finne fortrolig. 

For, hva er sammenhengen?

De alternative representasjonene bruker matematikk (tall, symboler, tabeller, …) for å beskrive det voksende mønsteret (en sammenheng). Mønsteret blir matematisert, en sentral operasjon i algebraisk tenking, kjent fra den algebraiske sirkelen (Brekke, Grønmo, & Rosén, 2000, s. 4). 

Den algebraiske sirkelen.
Elevene matematiserer mønsteret ved å beskrive sammenhengen

Del 1 og del 2 er designet med hensyn på uttrykket «low floor, high ceiling» (Sullivan, Knott, & Yang, 2015, s. 99). Det innebærer at oppgavene kan tas til forskjellige abstraksjonsnivåer, fra tegning (low floor) til generell formel (high ceiling), og er en undervisningstime alle elevene har tilgang til, og som samtidig kan utvides til høye nivåer. Engasjement fordrer både tilgjengelighet og intellektuell utfordring.

Problemløsningsorientert undervisning

Et avgjørende mål for matematikkundervisningen er å fremme effektive problemløsere (Yackel & Cobb, 1996, s. 134), først og fremst fordi problemløsning en del av en helhetlig matematisk kompetanse (Utdanningsdirektoratet, 2013, s. 2). Vi kjenner ingen universal definisjon på begrepet problemløsning, men forholder vi oss, for eksempel, til Mayer (1992) referert i Powell et. al (2009, s.134) kan vi forstå problemløsning som en kognitiv (altså: tenkende, resonnerende, utforskende) prosess, der målet er å finne en løsning på et problem, men der løsningsmetoden ikke er åpenbar for den som skal løse problemet.

Dersom en oppgave skal kategoriseres som et problem, må det altså være et «gap» mellom hvor eleven er og hvor eleven vil være, og samtidig en uoppdaget strategi for å finne veien dit (Powell, et al., 2009, s. 136). Dette betyr at hva om defineres som et problem er avhengig av den som skal løse problemet, og følgelig behøver ikke undervisningsoppleggets voksende mønster å være et problem for alle elevene. Likevel er opplegget problemløsnings-orientert, fordi: verken fremgangsmåte, metode eller strategi er gjort kjent; elevene må selv utforske og begrunne; og det finnes mange tilnærminger for å beskrive sammenhengen i mønsterets utvikling. 

Boaler (2015) argumenterer for at en slik måte å jobbe på, bidrar til at flere lykkes i faget, fordi problemløsningen har fokus på kreative ideer og ulike representasjoner gjennom utforsking, diskusjon og begrunnelser. Yackel og Cobb (1996) bidrar ikke bare til å underbygge viktigheten av å være bevisst klasseromslivets talte og u-talte holdninger til matematikk, de sier også at: når elever prøver å forstå hverandres forklaringer, sammenligne andres løsninger med ens egne, og skaper mening om likheter og forskjeller – nettopp da vil det oppstå flere læringsmuligheter (Yackel & Cobb, 1996, s. 464). Problembaserte oppgaver har også kognitiv viktighet, fordi de stimulerer til kognitiv utvikling (du vet de koblingene i hjernen jeg introduserte med), og matematiske utfordringer kan derfor bidra til matematisk læring (Powell, et al., 2009), som jo er målet med undervisningen.   

Tross i at undervisningsopplegget alene ikke vil revolusjonere verken matematikkundervisning eller læring, har jeg illustrert at undervisningsopplegget bygger på noen gode, forskningsbegrunnede prinsipper: problemløsnings-orienterte oppgaver, tidlig algebra gjennom refleksjon omkring et voksende mønster, og tilgjengelighet så vel som utfordring. Dessuten har jeg latt meg inspirere av både Boaler og Powell, så neste gang noen spør «kan vi klare det, da?» tror jeg sannelig vi kan svare med et rungende (kanskje noe idealistisk) ja.

Vet du – DET kan vi klare.

Referanser

Boaler, J. (2015). The Elephant in the Classroom. Helping Children Learn and Love Maths. London: Souvernir Press.

Brekke, G., Grønmo, L. S., & Rosén, B. (2000). Kartlegging av matematikkforståelse. Veiledning til algebra. Utdanningsdirektoratet. 

Carraher, D. W., & Schliemann, A. D. (2007). Early Algebra and Algebraic Reasoning . In Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 669-705).

Clements, D. H., & Sarama, J. (2007). Early Childhood Mathematics Learning. In Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 461-555).

Herheim, R. (2016). Matematikk som magi. Matematikklæring for framtida: Festskrift til Marit Johnsen-Høined, pp. 129-146.

Lesh, R., & J., Z. (2007). Problem Solving and Modeling . In Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 763-804).

Powell, A. B., Borge, I. C., Fioriti, G. I., Kondratieva, M., Koublanova, E., & Sukthankar, N. (2009). Challenging Tasks and Mathematics Learning . In Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom. (pp. 133-170). Springer.

Sullivan, P., Knott, L., & Yang, Y. (2015). The Relationships Between Task Design, Anticipated Pedagogies, and Student Learning . In Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom. (pp. 83-114). Springer International Publishing .

Utdanningsdirektoratet. (2013). Læreplan i matematikk fellesfag. Hentet 14.10.2017 fra http://data.udir.no/kl06/MAT1-04.pdf

Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, pp. 458-477.

Bilder/video

Bilde 1: The Myth of Being ´bad´ at Math (2015)  Hentet 14.10.2017 fra https://medium.com/aspen-ideas/the-myth-of-being-bad-at-math-b8c823ac7f75

Video: Jo Teaching A Dot Card NumberTalk SD (publisert 12.01.2015) Hentet 14.10.2017 fra https://www.youtube.com/watch?v=-pJhCAiaV-Q