«Førrtæll mæ en gång æ får bruk førr dettan»

Som matematikklærer har jeg fått dette spørsmålet mange ganger i løpet av de årene som jeg har undervist. Dessverre er det ikke alltid jeg har klart å besvare dette på en tilfredsstillende måte, og for noen elever har matematikken fortsatt blitt opplevd som noe abstrakt og virkelighetsfjernt.

Istedenfor for å se på matematikken som noe kreativt og spennende, fullt av mønster og sammenhenger, blir faget ofte oppfattet som pugging av regler og algoritmer. I undervisningen overfører læreren da sin kunnskap gjennom å presentere formler og fremgangsmåter, som elevene i etterkant må kopiere når de løser oppgaver (Boaler, 2015). Både regler og fremgangsmåter har selvfølgelig en sentral plass i matematikkfaget, men å bare fremstille matematikken på denne måten blir ensidig. Elevene skal også i matematikkfaget få holde på med undersøkelser og eksperimentering. Både lærere og elever skal ha en spørrende og undersøkende holdning til matematikken (ibid). Når fokuset blir på prosessen frem mot en løsning og ikke på om svaret er rett eller galt, vil elevene kunne oppleve faget på en helt ny måte. De vil også begynne å tenke annerledes og utvikle nye strategier for å kunne løse en oppgave. Filmen nedenfor viser hvordan en slik måte å arbeide med matematikken på, kan skape engasjement, motivasjon og ikke minst læring.



Matematikkopplæringen skal legge til rette for at elevene på en selvstendig og selvbevisst måte skal lære seg til å tenke og argumentere. Ved å bruke det de lærer i matematikk som et verktøy skal elevene kunne løse ulike problemer. Disse problemene kan være oppgaver som er knyttet til matematikken, men også oppgaver som de kan møte i hverdagslivet (Utdanningsdirektoratet, 2013). Hensikten med all opplæring er å gi elevene mulighet til å utvikle den kunnskapen og kompetansen som de trenger for å klare seg i livet utenfor skolen. (Opplæringsloven § 1-1; Utdanningsdirektoratet, 2013)

Statistikk – et viktig verktøy i dannelsesprosessen

«Statistical thinking will one day be as necessary for efficient citizenship as the ability to read and write» H.G.Wells (Shauhnessy, 2007:964)

I dagens teknologiske samfunn er tilgangen på informasjon bare er et tastetrykk unna. Vi som lærere må gi elevene de redskapene de trenger for å manøvrere seg i dette «landskapet». Det går ikke en dag uten at mengder med datamateriale blir presentert i mer eller mindre useriøse sammenhenger og former, og det er ikke alltid lett å forstå hvilket materiale som faktisk kan gi oss verdifull informasjon. Ofte er det de store overskriftene som er hovedmålet. Det blir da viktig å kunne stille spørsmål omkring hva som presenteres, hvordan det presenteres og hvorfor det presenteres akkurat slik. I følge LK06 skal elevene utvikle dette kritiske "blikket" gjennom undervisningen.

 
Statistikken spiller ifølge Shaughnessy (2007) en viktig rolle undervisningen. Elevene må lære om statistikk som emne, i tillegg til det å bruke og vurdere statistisk materiale. Som voksne skal elevene bli forbrukere og kanskje også produsenter av ulikt statistisk materiale, og da er det grunnlaget som legges i skolen helt sentralt. Dette grunnlaget kaller Shaughnessy for «Statistical Literacy» (ibid).

Som skoleemne er statistikk forholdsvis nytt, iallfall i det omfanget som det er i dag. Dette skyldes naturlig nok den store mengden av datamateriale som er en følge av den teknologiske utviklingen. En konsekvens av dette blir at undervisningen i emnet også må endres for å følge denne utviklingen. Forskning viser at mange lærere har behov for å øke sin egen kompetanse omkring emnet for å kunne undervise elevene (Shaughnessy, 2007). Om undervisningen ikke er tilrettelagt for den utviklingen som har skjedd, vil det være deler av elevenes nødvendige kompetanse som er mangelfull når de går ut av skolen.

Flere av lærebøkene i matematikk som brukes i dag behandler ikke godt nok sentrale deler av kompetansemålene. Oppgavene handler ofte om avlesning av diagrammer, fremstilling av et allerede gitt datamateriale og ikke minst utregning av sentralmål og spredningsmål. I noen av læreverkene er det også oppgaver hvor elevene skal søke etter og bruke databaser for å finne statistisk materiale. Forskning viser at elevene mestrer nettopp disse områdene (Shaughnessy, 2007). Det elevene bør arbeide mer med er å kunne bruke det statistiske datamaterialet til analysering og kritisk tenkning, i tillegg til å kunne avgjøre og begrunne hvilke sentral – og spredningsmål som er mest hensiktsmessige i ulike situasjoner (ibid).

Når elevene kommer på ungdomstrinnet har de allerede et grunnlag for å kunne arbeide med statistikk og datamateriale fra tidligere skoleår. Det gir meg som lærer mulighet til å kunne bygge videre på denne kunnskapen.

Nedenfor er et undervisningsopplegg som jeg har brukt i 10.klasse, og som har som hensikt å fremme noen av de områdene Shaughnessy (2007) nevner som viktige, ved å at elevene skal analysere, vurdere, drøfte, tolke og kritisk reflektere over datamateriale.

  

Klassen deles i to grupper hvor den ene gruppen skal være for påstanden, og den andre gruppen imot.

Argumentasjon og faglig begrunnelse blir viktig i en slik oppgave. Det blir sentralt at elevene ikke «synes og mener», men at begrunnelsen og argumentasjonen bygger på statistisk materiale. Ved å la elevene selv finne dette datamateriale læres de opp til å navigere i enorm mengde data, samtidig som de vil lære seg å være kritisk til det som presenteres. I starten på gjennomføringen av slike typer oppgaver opplever man gjerne at elevene kan være ukritisk til utvalg av data, så lenge det fremmer deres synspunkter, noe som også Shaughnessy (2007) påpeker. Etter hvert vil de se behovet for å være mer kritisk i utvalget. Elevene kan oppleve at begge sider i debatten benytter det samme materialet for å argumentere for sin side, men at de tolker det ulikt. Dette gir en mulighet for meg som lærer til å gå inn i både tolkningene og de kritiske vurderingene som er tatt, og jeg har fått mange gode og ikke minst faglig relevante diskusjoner omkring nettopp dette.

Matematisk modellering – fra regler til anvendelse

Gjennom matematisk modellering handler det om å kunne bruke matematikk for å aktivt løse problemer som har sitt grunnlag i både matematiske og ikke – matematiske sammenhenger (Blum,2011). Ved å bruke matematikk til å løse virkelighetsnære problemer anvender elevene matematikken, og ved å håndtere en virkelighetsnær situasjon ved hjelp av matematikk kalles det en anvendelse av matematikken (ibid)



Det er vanlig å fremstille matematisk modellering i en syklus som består av flere deler. Modellen har sine røtter i to dimensjoner - den «virkelige» verden og den «matematiske verden». Syklusen som jeg har presentert nedenfor er hentet fra Blomhøj og Kjeldsen (2006)

 

Modellen tar sitt utgangspunkt i den «oppfattede virkeligheten» (percived reality). Dette er den oppgaveteksten, det stoffet eller den situasjonen som oppgaven angår. Det kan være et problem eller en utfordring som elevene møter i en kontekst fra et skolefag, eller fra dagliglivet (Blomhøj og Kjeldsen, 2006). Bakgrunnen for mitt undervisningsopplegg var noen artikler som kom ut på gjennomføringstiden som handlet om innføring av skoleuniformer i Norge. Elevene fikk utdelt disse artiklene i oppstarten av den første økten.

Elevene skal deretter ta utgangspunkt i dette virkelige problemet og gjenkjenne muligheten for å kunne bruke matematikk for å formulere matematiske problemstillinger (Blomhøj og Kjeldsen, 2006). Gjennom denne prosessen avgrenser og systematiserer elevene informasjonen ved at problemet oversettes fra et hverdagsspråk til et matematisk språk og matematisk terminologi (ibid). For å kunne argumentere for sin side av påstanden om skoleuniform ble elevene fort klar over at de måtte bruke statistisk materiale. Elevene måtte selv finne ut både hva de skulle sjekke og hvordan de skulle skaffe det materialet de trengte for å besvare problemstillingen, enten det var med spørreundersøkelser, om de skulle ta utgangspunkt i allerede publisert forskning, eller begge deler.

For å kunne få svar på den matematiske problemstillingen må elevene bruke matematisk analyse og matematiske metoder (Blomhøj og Kjeldsen, 2006). I undervisningsopplegget innebar dette blant annet å foreta spørreundersøkelser, lese og bearbeide datamateriale fra ulike kilder og regne på dette. Denne prosessen førte dem til en matematisk løsning (model result). Dette er rene matematiske resultater og sier ikke så mye om den opprinnelige konteksten eller spørsmålsstillingen (ibid).

Først når man ser og tolker de matematiske resultatene opp mot den «oppfattede virkeligheten» får man den innsikten som er nødvendig og som er selve resultatet av modelleringsprosessen (Blomhøj og Kjeldsen, 2006). Gjennom å reflektere over, tolke og vurdere den matematiske løsningen som elevene kom frem til, kunne de finne ut om den matematiske løsningen var fornuftig og logisk ut fra den opprinnelige konteksten. Her måtte elevene oversette fra det matematiske språket og terminologien og tilbake til hverdagsspråket igjen. I gjennomføringen av opplegget var det en av elevgruppene som kom frem til at de resultatene de hadde fått i utregningsprosessen ikke var gode nok til å kunne argumentere for sitt syn. De måtte derfor gå tilbake i prosessen igjen, samle inn ny data og bearbeide dette. At modellen er dynamisk kan vi se ved at pilene mellom de ulike stadiene går begge veier. Dette er ifølge Blomhøj og Kjeldsen (2006) nettopp fordi elevene kan gjøre forbedringer og forenklinger ved å kunne gå tilbake i prosessen.

Vi finner «forenklingsutgaver» av den matematiske modelleringssyklusen både knyttet til «Regning som grunnleggende ferdighet» og i PISA. Matematisk modellering ses på som en viktig prosess og legger til rette for ferdighetsområder som elevene bør utvikle gjennom skolegangen (Matematikksenteret, 2013; OECD, 2012)

Hvordan får vi det til da?

Gjennom regning som grunnleggende ferdighet i alle fag skal anvendelsen og relevansen av matematikken bli synliggjort. Ved å ta utgangspunkt i det enkelte fagets kontekster skal regningen komme inn i fagene på en naturlig måte, og på fagenes premisser (Matematikksenteret, 2013). Matematisk modellering gjennom den «Helhetlige problemløsningsprosessen» kommer naturlig inn i det å regne i alle fag og er en metodisk hjelp i arbeidet med regningen.

Statistikk er et naturlig grunnlag for mange av kompetansemålene i flere fag, noe som gjør det lettere å finne relevante og aktuelle kontekster som det kan tas utgangspunkt i. Med den tilgangen som i dag finnes på statistisk materiale vil det være enkelt å kunne hente nødvendig informasjon. Dette stiller et større krav til elevenes evne til å være kritisk til den informasjonen som presenteres (Shaughnessy, 2007). Når jeg som lærer kan komme med ulike påstander som skaper en interesse hos elevene vil de engasjere seg på en helt annen måte enn om de skulle gjøre utallige nærmest likelydende oppgaver i en lærebok.

Nedenfor er noen eksempler på andre påstander som kan benyttes, som er knyttet til andre fag, men hvor et statistisk materiale er et naturlig utgangspunkt for å kunne ta stilling til påstanden.

 

Den matematiske modelleringssyklusen kan altså benyttes i flere fag enn matematikk og elevene vil kunne se nytteverdien av både matematikken og den konteksten som oppgaven tar utgangspunkt i. Det er nettopp dette som er hensikten med regning som en grunnleggende ferdighet (Matematikksenteret, 2014). For at det skal være mulig, er det viktig at alle lærerne, uansett fag, er bevisste på hvordan og hvorfor elevene bør jobbe på denne måten.

Ved å arbeidet med statistikk på ulike måter, og se det fra ulike vinkler vil elevene kunne opparbeide seg det som Skemp (1976) omtaler som relasjonell forståelse. Denne forståelsen gjør at eleven kan se hvordan de ulike kunnskapene og begrepene som de tidligere har lært seg, henger sammen forholder seg til hverandre. Eleven kan da komme seg fra et gitt utgangspunkt/problemstilling til et vilkårlig sluttpunkt ved bruk og hjelp av ulike opparbeidede løsningsmetoder og strategier. På denne måten forstår ikke eleven bare HVA og HVORDAN han/hun skal jobbe med matematikken men også HVORFOR ulike prosedyrer virker (ibid). De vil også kunne se at det de lærer i matematikken er nødvendige redskaper og kunnskap for å løse problemer i mange faglige sammenhenger. Dette vil igjen kunne hjelpe dem til å utvikle de fleksible og tilpasningsdyktige kompetansene som kommer frem i LK06, og som er grunnlaget for at den enkelte skal klare seg i den verden som er utenfor skolen (Utdanningsdirektoratet, 2013).

Litteraturliste

Blomhøj, M., & Kjeldsen, T. H. (2006). Teaching mathematical modelling through project work. ZDM, 38(2), 163-177.

Blum, W. (2011). Can modelling be taught and learnt? Some answers from empirical research. In Trends in teaching and learning of mathematical modelling (pp. 15-30). Springer Netherlands.

Boaler, J. (2015). The Elephant in the classroom. Helping children learn & love maths. London, Souvenir press

Lov om grunnskolen og den vidaregående opplæringen (opplæringslova).     

Hentet fra: https://lovdata.no/dokument/NL/lov/1998-07-17-61 (19.09.17)

Matematikksenteret (2014). Teoretisk bakgrunnsdokument for arbeid med regning på ungdomstrinnet – revidert våren 2014.                                                                               

 Hentet fra: https://www.udir.no/Upload/Ungdomstrinnet/Rammeverk/Ungdomstrinnet_Bakgrunnsdokument_regning_vedlegg_2.pdf   (20.09.17)

OECD (2012). PISA 2012 Result: What Student Know and Can Do. OECD.                                                               

 Hentet fra: http://www.oecd-ilibrary.org/education/pisa-2012-results-what-students-know-and-can-do-volume-i-revised-edition-february-2014_9789264208780-en (19.09.17)

Shaughnessy, J.M (2007): Research om statistics learning and reasoning” i F. K. J. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning. Charlotte s. 957 – 1009 


Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding, Mathematics Teaching.

Utdanningsdirektoratet (2013): Læreplanverket.                                                                                 

Hentet på: https://www.udir.no/laring-og-trivsel/lareplanverket/ (17.09.17)

Video hentet fra: https://www.youcubed.org/resources/solving-math-problem/  (17.09.17)