Algebra + problemløsning = forståelse?

Del 1 av eksamen i emnet LRU-3351, kandidatnummer: 15

Innenfor klasserommets fire vegger, sitter det mange elever som verken ser nytten av matematikkundervisningen, ei heller forstår selve matematikken det undervises om. Spør man elevene om hva de tenker om matematikk, kan man for eksempel få svar som at «matematikk er noe man gjør, ikke noe man forstår» (Powell, Borge, Fioriti, Kondratieva Koublanova & Sukthankar, 2009, s. 133). 

Som kommende matematikklærer er dette noe jeg selvsagt vil prøve å gjøre noe med. Og vil derfor prøve å utforme et undervisningsopplegg som skal vekke nysgjerrighet og interesse, og som for elevene, kanskje kan bidra til en bedre forståelse av algebra.

I et vidt spekter av forskning, har det kommet frem at algebra er et område innenfor matematikken som er utfordrende for elevene (Kieran, 2007). Samtidig finnes det forskning som sier at problemløsningsoppgaver er «veien å gå» for å utvikle en relasjonell forståelse av matematikk hos elevene (Van de Walle, Bay-Williams, Lovin & Karp, 2014). (En forklaring av begrepet relasjonell forståelse finnes i avsnittet nedenfor). Derfor vil undervisningsopplegget inneholde «algebraiske» problemløsningsoppgaver.

Instrumentell og relasjonell forståelse
I matematikk kan man dele forståelse inn i to deler, der den ene delen kalles for instrumentell forståelse, og den andre for relasjonell forståelse. Kort, og veldig enkelt forklart, dreier den instrumentelle forståelsen seg om at man for eksempel i en matematikkoppgave lett kan se hvordan man skal løse oppgaven, fordi man husker den spesielle framgangsmåten (algoritmen) for å løse akkurat den oppgaven, men kan ikke si noe om hvorfor man kan løse den slik. Om man har en relasjonell forståelse, vil man i tillegg til å kunne løse oppgaven, også kunne forklare hvorfor man kan løse oppgaven på denne måten, samtidig som man kan løse oppgaver der man ikke umiddelbart ser en passende algoritme (Skemp, 1976). En slik type oppgave, kan elever med instrumentell forståelse ha vanskeligheter med å løse. Denne typen oppgaver, kalles ofte for et problem, eller en problemløsningsoppgave. Dette står det skrevet mer om under Problemløsning.

James Hiebert og Patricia Lefevres begreper conceptual and procedural knowledge, ligner veldig på det Richard Skemp kaller for instrumentell og relasjonell forståelse. Hiebert og Lefevres mener derimot at disse to sees i sammenheng med hverandre, og at det å ha den ene formen for forståelse ikke utelukker den andre, men at de utfyller hverandre. Mens Skemp ser ut til å mene at man enten har den ene eller andre formen for forståelse (Hiebert & Lefevre, 1986; Skemp, 1976). Det mest naturlige her, i forhold til undervisningsopplegget, vil være å se de to forståelsene/kunnskapene i sammenheng med hverandre, jeg tenker at de to sammen bidrar til å utvikle elevenes fullstendige forståelse av algebra.

Algebra

Algebra handler om å regne med bokstaver og symboler i stedet for «ren» tallregning. Det handler om å gå fra det spesielle til det generelle, for eksempel som å se en sammenheng mellom figurtallene under og ut fra det kunne lage en generell formel som vil gjelde for det n-te figurtallet i rekka. 

Mange elever synes at algebra er et vanskelig tema i matematikkfaget (Kieran, 2007).  Og det er jo ikke så rart når mye av hvordan måten algebra undervises på, kan virke veldig abstrakt for mange. For eksempel kan en vanlig misoppfatning være at når en elev har løst en oppgave der løsningen var «X = 10», kan denne eleven tro at dette gjelder for alle oppgaver der bokstaven X er involvert. 

 

Hva kan gjøres for at elevene skal få en bedre forståelse av algebra? Jo, i boken Algebra för alla, diskuteres det rundt åtte punkter, som sees på som viktige for at elevene skal oppleve arbeidet med algebra som meningsfullt. Jeg har her bare tatt med tre av punktene, da det er med tanke på disse tre punktene undervisningsopplegget er utviklet. Disse tre lyder slik (min oversettelse):

1. Matematikken skal være spennende, utfordrende og underholdende
2. Bruk av flere representasjonsformer – hjelper på forståelsen 
3.  Arbeidet med matematikk bør være problemløsningsorientert
   (Bergsten, Häggström & Lindberg, 1997).

Her er altså tre av de åtte punktene som er viktige for at elevene skal føle at arbeidet med algebra er meningsfullt, og er i denne sammenhengen utgangspunktet for undervisningsopplegget jeg har utformet. Opplegget inneholder både en film og to problemløsningsoppgaver jeg oppfatter som spennende, utfordrende og underholdende. Forhåpentligvis deler elevene den samme oppfatningen. 

Problemløsning
Ved å ha lest en del forskning som omhandler problemløsning, kommer det tydelig frem at ved å bruke problemløsningsoppgaver i undervisningen, vil elevene utvikle en relasjonell forståelse i matematikk (Van de Walle, Bay-Williams, Lovin & Karp, 2014).

Problemløsning i matematikk handler kort og godt om å løse matematiske problemer. Et problem i matematikkfaget, kan for mange lærere bety en situasjon som føles fascinerende og som har den virkningen at det kan vekke nysgjerrighet hos mennesket. Det er også slik at når man skal jobbe med et problem, skal det være utfordrende å finne en løsningsstrategi med en gang (Chapin, O’Connor & Anderson, 2009). Med andre ord kan man si at noe som er et problem for en elev, skal kunne løses, men eleven klarer ikke umiddelbart å se hvordan han/hun skal gå frem for å løse problemet. Klarer eleven derimot å se løsningen med en gang, vil «problemet» ikke lengre være et problem for denne eleven, men heller en form for øvingsoppgave.

Når man snakker om problemløsning, er matematikeren George Polya verdt å nevne. Han har utviklet en problemløsningsmetode som kan være nyttig å bruke når man jobber med problemløsningsoppgaver. Denne metoden er delt opp i fire steg og utfolder seg slik (min oversettelse):

1. Forstå problemet
2. Se hvordan de ulike elementene i problemet henger sammen og lage en plan 
3.   Iverksett planen
4. Se tilbake på løsningen og reflektér over den
   (Polya, 2013, s. 5-6).

Grunnen til at jeg trekker frem Polyas problemløsningsmetode, er at den kan brukes i sammenheng med når elevene jobber med problemløsningsoppgaver. Denne metoden kan brukes til mange ulike problemer, og være som en veileder for hvordan man skal gå frem for å løse et problem. Dermed kan denne metoden være en støtte for læreren (som igjen blir en støtte for elevene) i forhold til hvordan man skal lede elevene på rett vei ved å spørre de riktige spørsmålene, eller det kan være som en støtte for elevene hvis man for eksempel gjennomgår de fire stegene i fellesskap. Da kan elevene selv følge «oppskriften», som kan hjelpe dem når de jobber med problemløsning.

Denne metoden har dog fått en del kritikk fra ulike hold. Matematikeren Edward G. Begle mente at det fantes nok av bevis for at en generell problemløsningsstrategi ikke ville funke for alle typer problemløsningsoppgaver, og heller ikke for alle elevene. Det samme mente matematikeren Alan H. Schoenfeld, det funket dårlig å lære studentene en generell metode for problemløsning, og han foreslår heller at det kanskje hadde funket bedre med spesifikke problemløsningsmetoder som passer til ulike typer problemer (Lesh & Zawojewski, 2007).

Siden jeg har hørt så mye om Polyas problemløsningsmetode og på grunn av kritikken denne metoden har fått, vil jeg veldig gjerne ha den med som en del av undervisningsopplegget, fordi det kan være interessant å se om denne metoden kan fungere eller ikke.

Undervisningsopplegg
Innhold:
I læreplanen for matematikk, finner vi et mål etter 7. trinn som lyder slik: «finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga» (Kunnskapsdepartementet, u. å.). Dette er det overordnede målet som dette undervisningsopplegget har som utgangspunkt. Undervisningsopplegget inneholder en film + to problemløsningsoppgaver.

Filmen jeg velger å ha med, er Walt Disneys film «Donald in Mathmagic land». I korte trekk handler filmen om Donald Duck i ulike møter med matematikken, alt fra hvordan musikk og matematikk henger sammen, til hvordan man bruker matematikk i spill som sjakk osv. Denne filmen varer i ca. 30 minutter, men man kan velge om man bare vil bruke utvalgte sekvenser av filmen, eller om man vil spille av hele. 

Filmen illustrerer veldig godt at matematikken er del av så veldig mye mer enn det man tror, og vil kanskje medvirke til at elevene begynner å tenke mer over dette enn det de tidligere har gjort. Tenker også at den kan bidra til at man kanskje får en litt større trang til å forstå og se sammenhenger mellom ulike ting.

 

Problem 1:
Per, Anne og Ella har vært på butikken og kjøpt noen sukkertøy. De har bare brukt kronestykker med verdi 1 kr til å betale med. Hvor mange sukkertøy har de kjøpt og hvor mange kronestykker har de igjen, hvis:

Per, Anne og Ella til sammen har 113 sukkertøy
Ella har til sammen 81 sukkertøy og kronestykker
Per og Anne har til sammen 57 kronestykker
Ella og Per har til sammen 73 sukkertøy
Ella og Per har til sammen 63 kronestykker
Per har 3 færre sukkertøy enn Ella

Problem 2:

 

                                     Problem 2 er hentet fra denne siden.

Utførelse:

Dette undervisningsopplegget kan utføres i en 7. klasse, der elevene allerede har jobbet litt med algebra. Altså burde de ha kjennskap til hvordan de kan sette opp enkle likninger med bokstaver. Problemløsningsoppgavene kan være litt for utfordrende, men det er da man skal prøve å ta i bruk Polyas problemløsningsmetode.

 

Elevene deles inn i grupper på tre stykker per gruppe. Dette gjøres fordi de sammen skal diskutere og komme fram til en løsning på problemet. Ved at elevene får jobbe sammen med hverandre i grupper, tenker jeg at det kan oppstå mange verdifull diskusjon, som kan bidra til utvikling av sin egen og hverandres forståelse av algebra.

Dette undervisningsopplegget egner seg til en undervisningsøkt på 90 minutter. Start med å vise Donald in Mathmagic land, eller utvalgte sekvenser om man ikke har tid til å vise hele. Når filmen er ferdig, samtaler læreren med elevene om hva de tror hensikten med å vise denne filmen var, og om det var noe i filmen de fant spesielt interessant. Det neste læreren gjør er å lese problemløsningsoppgave 1 høyt for elevene og prøver sammen å finne ut hva problemet egentlig er, for å få i gang tankeprosessen hos elevene (steg 1 av Polyas problemløsningsmetode). Læreren deler deretter ut problemløsningsoppgave 1 til alle gruppene og deler samtidig ut noe som skal ligne på sukkertøy og kronestykker, slik at elevene kan løse problemet ved hjelp av «sukkertøyene» og «kronestykkene», men skal også løse problemet ved hjelp av penn og papir. Ved å gjøre det slik får elevene se at det finnes flere måter å løse problemet på.

Mens elevene prøver å løse problemet, går læreren rundt og lytter på diskusjonene og resonnementene som fyller klasserommet. På denne måten får læreren innblikk i både hvordan elevene løser problemet og om de har eventuelle misoppfatninger i forhold til problemet de prøver å løse (Chapin m.fl., 2009). Læreren kan også ved hjelp av Polyas problemløsningsmetode hjelpe elevene med hvordan de skal gå videre hvis man ser at de sliter med å komme i gang. Elevene får rundt 40-45 minutter til problemløsningsoppgavene. Samme framgangsmåte brukes for begge problemene, bortsett fra at problem 2 kun løses med penn og papir. Avslutningsvis kan man i plenum samtale om at det finnes ulike løsninsgstrategier for et og samme problem, dette viser elevene tydelig at det finnes flere måter å tenke på enn bare én. Samtidig kan man diskutere denne måten å jobbe med matematikk på.

Avsluttende kommentar
Dette er bare et forslag til hvordan man kan bruke problemløsningsoppgaver i sammenheng med algebra, som kanskje kan bidra til utvikling av elevenes forståelse for algebra. Dette er noe som må jobbes med kontinuerlig og over en lengre periode, slik at elevene blir fortrolig med en slik måte å jobbe med matematikk på og at de får tid til å lagre kunnskapen før de går i gang med noe nytt. 

Litteraturliste
Bergsten, C., Häggström, J. & Lindberg, L. (1997): Algebra för alla. Bohus: Ale Tryckteam

Chapin, S. H., O’Connor, C. & Anderson, N. C. (2009). Classroom Discussions: Using math talk to help students learn. Grades K-6. (2nd ed.). Math Solutions

Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introcutory analysis. I: Conceptual and prodecural knowledge: The case of mathematics. J. Hiebert. Hillsdale, NJ, Lawrence Erlbaum Associates

Kieran, C. (2007) Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. I: F. K. J. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning. Charlotte

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. I: F. K. J. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning. Charlotte

Polya, G. (2013). How to solve it: A New Aspect of Mathematical Method. Stellar Books

Powell, A. B., Borge, I. C., Fioriti, G. I., Kondratieva, M., Koublanova, E., & Sukthankar, N. (2009). Challenging tasks and mathematics learning. In: Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom (pp. 133-170). Springer US.

Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding, Mathematics Teaching.

Van de Walle, J. A., Bay-Williams, J. M., Lovin, L. H. & Karp, K. S. (2014). Teaching Student-Centered Mathematics. Developmentally Appropriate Instruction for Grades 6-8. (2nd ed.).  Pearson Education

Internettkilder:
Kunnskapsdepartementet. (u. å.). Læreplan i matematikk. Hentet fra https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-7.-arssteget

 

Matematikk.org (2008). Hefte med problemløsningsoppgaver. Hentet fra: https://www.matematikk.org/binfil/download2.php?tid=83942&h=c8ec261d0ffa8ace1be7aee45247b363

 

The best Kids Cartoon Movies. (2016, 15. januar). Donald Duck Donald In Mathmagic Land [Videoklipp]. Hentet fra: https://www.youtube.com/watch?v=PvceKeHl0Sg