Algebra - den store, stygge ulven

Kandidatnummer 26

                      

Algebra – den store, stygge ulven

Bilde 1

Matematikk blir ofte assosiert som et fag hvor det blir presentert regler, algoritmer og prosedyrer som skal huskes og pugges, og som ikke er nyttig senere i det virkelige liv. Alle disse reglene og prosedyrene er ment å være ledetråder og retningslinjer for å komme fram til det rette svaret, på kortest mulig tid (Herheim, 2016). Hvorfor prosessen fram til løsningen er slik den er, blir bortprioritert/visket bort. Gjennom egen skolegang og praksis har jeg møtt elever som har en såkalt ”matteangst/mattedysleksi”. Denne angsten grunner helt tilbake til barneskolen, hvor de sier at de opplever matematikkfaget som et huskefag og som et fremmed språk de ikke forstår, og da spesielt algebra.

Algebra er som et eget språk i matematikken, og det er mange elever som kan få seg en real knekk når de skal introduseres for dette temaet. Kjente undersøkelser som TIMSS viser at norske elever har lav kompetanse innenfor dette området i matematikken (Bergem m.fl, 2012). Algebra er for mange elever abstrakt, noe som kan medføre at de utvikler en instrumentell forståelse – altså lærer seg de regler og prosedyrer som kreves for å kunne løse ulike typer oppgaver innenfor algebra, men ikke har forståelsen av hvorfor reglene/prosedyrene brukes. Hadde undersøkelsene vist andre resultater om elevene i norske skoler fikk innføring i algebra i tidligere alder?

Algebra

Helt frem til elevene går i slutten av barneskolen eller begynnelsen av ungdomsskolen, har mange elever den oppfatningen at matematikk bare handler om tall. Plutselig introduseres de for en helt ny verden innenfor matematikken, nemlig algebra. Møtet skaper stor forvirring og frustrasjon. Men er det virkelig noe helt nytt de nå skal introduseres for? I dette videoklippet viser de hvordan algebra kan introduseres til elever på mellomtrinnet ved å bruke virkelighetsproblemer/reelle situasjoner for å innføre bokstaver i matematikken:

Algebra er den delen av matematikken som handler om strukturer, relasjoner og kvantiteter (Orakelet, 2010). I følge matematikksenteret (u.å) oppleves algebra som vanskelig og lite tilgjengelig. Alle abstraheringene og generaliseringene som gjøres innenfor algebra blir fort til et evig kaos for elevene. Hadde det skjedd en forskjell hvis algebra ble implementert i et tidligere stadium i skolen? I følge Carraher og Schlieman (2007) er elevene i stand til å forstå og arbeide med algebra på et tidlig stadium, allerede før de har lært seg algebraisk notasjon og formell generalisering. I deres forskningsartikkel ligger fokuset på hvilket tidspunkt algebraundervisningen burde implementeres, og her skilles det mellom pre-algebra og tidlig algebra.

Pre-algebra skal være med på å lette overgangen fra aritmetikk til algebra. Dette gjøres gjennom å blant annet å forenkle oppgavene og å øke og forklare bruken og betydningen av matematiske symboler, som for eksempel likhetstegnet (Carraher og Schlieman, 2007). Fokuset på tallforståelse er unnværende. Pre-algebra blir allerede introdusert for elevene i tidlig alder, hvor de allerede i begynnelsen av deres skolegang får tildelt oppgaver hvor de skal fylle ut det som mangler i et regnestykket for å komme fram til et gitt svar. 5 + _ = 8.

Tidlig algebra derimot kommer inn litt senere i skolegangen. Her blir elevene introdusert for andre tilnærminger, og elevene begynner å arbeide med variabler, relasjoner og strukturer. I tidlig algebra er man ikke like redd for å trekke inn symboler og bokstaver, og i motsetning til pre-algebra vil oppgavene også utfordre elevene mere på deres tallforståelse. Tidlig algebra kan være med å skape en bedre og dypere forståelse enn pre-algebra. Forståelsen av likhetstegnet blir trukket fram som en aritmetisk barriere av Carraher og Scliemann (2007). Ofte blir likhetstegnet sett på som et signal om at noe skal utføres. Det er viktig å presisere og få fram at likhetstegnet er knyttet til likeverdighet. Tallene eller uttrykkene på hver side av likhetstegnet skal ha akkurat samme verdi (Brekke m.fl, 2000). En måte å arbeide med dette på er å bruke, det Carraher og Schliemann (2007) kaller for missing addend problems. Et eksempel på en slik oppgave hvor elevene får bryne seg på forståelsen av likhetstegnet er: 13 = x + 7. Hvilket tall mangler for at høyre side skal være likeverdig med venstre side? Elevene oppfatter gjerne at svaret skal stå på høyre side, mens her er svaret på venstre side. I tillegg får elevene presentert både tall og bokstaver i regnestykker som blir presentert i tidlig algebra, i motsetning til i pre-algebra hvor elevene bare fyller inn tallet som mangler for å få et gitt svar.

Illustrasjon 2

Brekke m.fl (2000) sin algebraiske syklus tar for seg elevenes bruk av matematikk for å løse ulike, gitte problemer i algebra. Elevene blir presentert for et problem, situasjon eller kontekst fra den ”virkelige verden”. Gjennom matematisering kan elevene se den matematiske sammenhengen i en konkret situasjon, og tar i bruk symboler i sine uttrykk og ligninger. Dette skjer gjennom at elevene resonnerer og velger strategi, der de bruker blant annet begreper og prosedyrer. Videre omformes de matematiske sammenhengene for å få fram nye aspekter ved den gitte situasjonen/konteksten. Elevene tolker de nye aspektene inn i den gitte situasjonen for dermed å få fram ny innsikt, slik at de kan løse det problemet de hadde i utgangspunktet.

Hva kreves det for å få forståelse?

Illustrasjon 3

For at elevene skal oppfatte matematikkfaget som noe annet enn bare et huskefag, er det viktig å bygge en forståelse for faget hos elevene. Kilpatrick, Swafford og Findell (2001) presenterer five intertwined strand of profiency som fem komponenter eller tråder når det kommer til kompetanse i matematikk; adaptive reasoning, strategic competance, conceptual understanding, produktive disposition og procedural fluency. Disse fem komponentene henger godt sammen og støtter hverandre, og elevene må utvikle alle fem samtidig for å få en forståelse. Hvis de klarer dette vil elevene utvikle en varig, fleksibel, nyttig og relevant kompetanse (Kilpatrick m.fl, 2001).

Jeg har valgt å vektlegge konseptuell forståelse og prosedyrekompetanse i mitt blogginnlegg. Konseptuell forståelse går ut på å forstå ulike matematiske konsepter, begreper, operasjoner og relasjoner, som igjen kan settes sammen til et stort og komplekst nettverk (Kieran, 2013). Prosedyrekompetanse handler om å utføre prosedyrer fleksibelt, nøyaktig, effektivt og hensiktsmessig, i tillegg kunnskap om hvordan og når en prosedyre skal brukes (Kieran, 2013). I følge både Kilpatrick m.fl (2001) og Kieran (2013) henger konseptuell forståelse og prosedyrekompetanse sammen. Jeg personlig tror at ved å innføre algebra på et tidlig tidspunkt i skoleforløpet vil føre til at elever lettere vil utvikle en konseptuell forståelse i algebra og aritmetikk. Hvis elevene jobber med og utvikler sin tallforståelse, vil de automatisk også oppnå prosedyrekompetanse. De klarer å se og forså hva de gjør, og i tillegg til å regne klarer de også nå å regne på en hensiktsmessig, nøyaktig og effektiv måte.

Undervisningsopplegg

I den norske læreplanen står det at matematisk kompetanse innebær å bruke problemløsning for å analysere og omforme et problem til matematisk form, løse det og vurdere hvor gyldig løsningen er (Utdanningsdirektoratet, 2013)¹. Basert på lærerplanen skal også elever i den norske skole arbeide kontinuerlig med problemløsningsbasert matematikk. Problemløsningsoppgaver kan føre til en meningsfull og hensiktsmessig introduksjon av matematiske konsepter, prosedyrer eller ideer (Koicho, 2014), og i tillegg utvikle elevene sin konseptuelle forståelse og prosedyrekompetanse.

I følge K06 skal elevene etter 7. Årstrinn kunne (Utdanningsdirektoratet, 2013)²:

- Finne informasjon i tekster eller praktiske sammenhenger, stille opp og forklare beregninger og fremgangsmåter, vurdere resultatet og presentere og diskutere løsningen

- Stille opp og løse enkle likninger og løse opp og regne med parenteser i addisjon, subtraksjon  og multiplikasjon av tall

Ut i fra dette har jeg valgt et undervisningsopplegg på mellomtrinnet, nærmere bestemt 6.trinn. Undervisningsøkten vil vare i ca. 60 minutter. Elevene skal jobbe i både alene og i læringspar, altså to og to. Dette for at elevene skal først selv danne et bilde og gjøre seg opp en refleksjon om hva som må gjøres i oppgavene, for deretter å diskutere med læringspartner løsningene de har kommet fram til. Ved å jobbe i læringspar vil også klasseromsdiskusjonen senere være lettere å delta i når man allerede har diskutert i lag med en medelev.

Jeg har tatt utgangspunkt i at elevene tidligere har jobbet med missing addend problem hvor de skal fylle ut tallet som mangler for å få det gitte svaret, men som en liten oppvarming begynner jeg med å gi de noen slike oppgaver. Eksempler på slike oppgaver kan være:

2 + _  =  8                    13 = _ -  20                 2* _ + 3 = 11              1 + 5 = _ / 2

Videre vil jeg at elevene skal se på liknende oppgaver, men her er de allerede utført. De skal selv og i læringspar diskutere hva som er riktig og feil løsning, og reflektere over hva som er blitt gjort galt ved løsningen som er feil. F.eks:

De skal først selv svare på spørsmålene:

Hvilke svar mener du er riktige?

Hvordan tror du den tenker som har gjort feil?

Skriv hvorfor du mener det i tekstboken din.

Deretter skal de gå sammen med læringspartner og diskutere løsningen.

Etter elevene har jobbet alene og i læringspar samles klassen, og vi snakker om løsningene i plenum. Dette for at alle skal få ta del i hverandres tankegang, og få eventuelle innspill. For å ta dette til neste nivå vil jeg gi elevene noen oppgaver hvor bokstaver kommer inn. Dette vil jeg gjøre ved å bryne elevene på missing addend problems i form av tekstoppgaver, som er virkelighetsrelatert. Et eksempel kan være:

 Her må elevene først ta i bruk matematiske symboler for å lage et uttrykk, før de deretter løser stykket. I dette tilfellet: 11 klubber = 4 klubber + _ klubber, evt 11 k = 4 k + _ k. Deretter må de tolke svaret de har fått, for å finne løsningen på problemet. Jeg oppfordrer de som trenger ekstra utfordring om å gå sammen med læringspartner, og finne opp slike problemer og gi til hverandre.

Som avslutning på timen vil jeg samle klassen i plenum igjen, og sammen diskutere og samtale om det vi har vært igjennom i løpet av denne undervisningsøkten.

Avsluttende kommentar

Algebra kan fort bli sett på som den store, stygge ulven i matematikkfaget. Det er bygd opp en stor frykt og fortvilelse allerede før selve møtet, og algebra er blitt en stor barriere for mange elever. Ved å innføre algebra på et tidligere stadium i skoleforløpet vil denne barrieren gradvis brytes, og elevene vil mestre både algebra og tallforståelse bedre. Elevene har en større mulighet for å utvikle en konseptuell forståelse, og være godt forberedt til møtet med algebra på høyere nivå. En viktig faktor for at undervisningen skal kunne favne alle elevene er at algebra gjøres levende og attraktivt, til noe som engasjerer og griper. De fleste elever kan kjenne igjen mønstre og på ulike måter uttrykke sammenhenger som kan peke utover enkelteksempler (Matematikksenteret, u.å).

Referanseliste

Brekke, G., Grønmo, L. & Rosén, B. (2000) Kartlegging av matematikkforståelse – Veiledning til algebra. Oslo: Nasjonalt læremiddelsenter

Carraher, D. W., & Schliemann, A. D. (2007). Early Algebra and Algebraic Reasoning. I F. K. Lester Jr, Second Handbook of Research on Mathematics Theaching and Learning (ss. 669-705). Information Age Publishing.

Grønmo, L., Onstad, T., Nilsen, T., Hole, A., Aslaksen, H., & Borge, I. (2012). Fortsatt en vei å gå. Norske elevers prestasjoner i matematikk og naturfag i TIMSS 2011. http://www.timss.no/timss_2011_web.pdf

Herheim, R. (2016). Matematikk som magi – hugsreglar og konsekvensar. I T. E. Rangnes & H. Alrø (Red.), Matematikklæring for framtida: Festskrift til Marit Johnsen-Høines (s. 129–146). Bergen: Caspar Forlag.

Kieran, C. (2013). The false dichotomy in mathematics education between conceptual understanding and procedural skills: an example from Algebra. In Vital directions for mathematics education research (pp. 153-171). Springer New York.

Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B., (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics, 4 The Strands of Mathematical Proficiency. Washington DC: National Academy Press.

Koichu, B. (2014). Reflections on Problem-Solving. In Mathematics & Mathematics Education: Searching for Common Ground (pp. 113-135). Springer Netherlands.

Matematikksenteret (u.å) Tilpasset opplæring og algebra. Lastet ned fra:

http://www.matematikksenteret.no/content/2226/Tilpasset-opplaring-og-algebra       (Hentet 09.10.17)

Utdanningsdirektoratet (2013)¹ Læreplan i matematikkfaget fellesfag: Føremål. Lastet ned fra: https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Formaal (Hentet: 12.10.17)

Utdanningsdirektoratet (2013)² Kompetansemål etter 7. Årssteget. Lastet ned fra:

https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-7.-arssteget (Hentet 10.10.17)

Video/bilder/illustrasjoner:

Bilde 1:

https://www.tes.com/lessons/txayWSCFK6M1bQ/copy-of-experiments-and-variables (Hentet 14.10.17)

Illustrasjon 3:

http://www.algebra-answer.com/tutorials-2/binomials/mathematics-320-project-23.html (Hentet: 14.10.17)

Øvrige bilde/illustrasjoner er laget selv

Video:

Eduzon (2016) Introduction to Algebra – 6th class mathematics. Lastet ned fra:

https://www.youtube.com/watch?v=6S-hgjo0HGc (Hentet 14.10.17)